摘要：从小波变换的基本原理出发，讨论了如何选择合适的小波函数及适当的阈值，以实现非线性非平稳地震信号的去噪算法。利用多尺度小波分解对地震波形数据进行了分析，在MATLAB中实现了对地震信号的去噪算法。分析比较了基于傅里叶变换和基于小波变换的两种算法对实际地震信号的去噪效果。结果表明，对于非线性非平稳地震信号的噪声消减，小波变换去噪算法显著优于傅里叶变换去噪算法。
关键词：小波变换；地震信号；去噪
中图分类号：TN911.4文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2013) 06-0000-02
1引言
在地震学研究中，地震事件波形记录信噪比的高低，将直接影响地震资料的可靠性、参数提取的精度以及提高分辨率的效果等。因此，去噪研究在地震资料处理中占有极其重要的地位。对于高分辨率宽频带地震观测设备所获得的地震波形记录，在有效波的频带范围内很可能包含有多种类型的噪声，有效进行信噪分离更是必不可少的一项重要工作。对于信噪比较低的信号，小波变换算法的去噪效果十分有效。小波变换去噪有三种方法[1]：模极大值重构方法、空域相关方法和小波域阈值方法。这里以这三者中实现最简单、计算量最小的小波域阈值方法[2]为例简要介绍小波变换去噪的基本原理：信号经小波变换后，认为含有重要信息的信号对应的小波系数幅值较大，但数目较少，而噪声对应的小波系数幅值小；在不同尺度上分别选取相应的合适阈值，置小于该阈值的小波系数为零，大于阈值的小波系数则保留[3]；这样可认为使信号中的噪声得到了有效抑制；最后对保留的小波系数进行小波逆变换，得到滤波后的重构信号，即完成了小波变换滤波去噪。
2小波变换去噪的原理
设原信号 被噪声污染后为 ，其基本噪声模型[1]可以表示为
(1)
式中： 为噪声； 为噪声强度。
小波变换中，对各层系数去噪所需要的阈值一般是根据原信号的信号噪声比来取得的。缺省的阈值（也叫默认阈值），其阈值公式为
（2）
其中 为信号的长度。在Matlab中用“ddencmp”函数（小波工具箱函数）实现。
小波变换用于去噪的过程[2]分为三个阶段：（1）分解过程：选定一种小波基，对信号进行N层小波分解。（2）选择阈值过程：对分解得到的各层系数选择一个阈值，并对细节系数用软阈值处理。（3）重建过程：将处理后的系数通过小波重建恢复原始信号。
3小波在地震中去噪的研究和应用
3.1在地震波上加噪声后去噪
以地震事件20030621155902-1.evt的台站LQS的垂直方向的地震波（如图1）为例，从图1可以看出此地震波几乎没有噪声，其最大振幅为2625，对其加白噪声后得到含噪声比较大的混合波。分别使用sym6和db6对此混合波分解三层，采用默认阈值去噪[5，6]，其结果如表1。表1中的平均绝对误差=sum(abs(s-y))/length(y），per=norm(y)/norm(s)。其中s表示原始信号（即加白噪声前的信号），x为信号s加白噪声后形成混合信号，y为混合信号x经小波变换得到去噪后的信号。
图120030621155902-1.evt的台站LQS的垂直方向的地震波
表1 对图1的地震波加噪后混合波处理的结果
信噪比
Sym6Db6
平均绝
对误差Per平均绝
对误差Per
24.7175
71.56680.860571.16400.8640
26.152269.69720.866069.22060.8690
26.816667.64200.871367.20750.8746
27.996767.71160.869167.55850.8726
28.885865.32340.874965.05660.8780
29.955263.97210.879063.64130.8819
29.964364.00360.878863.57170.8817
30.850263.62440.880663.19480.8836
31.897162.58230.881662.14380.8845
32.956761.87700.884261.47200.8870
从表1可以看出，在地震去噪上，db要比sym好。虽然db小波函数和sym小波函数都是紧支正交小波，也都是不对称的，但sym小波函数与db小波函数比较，它更接近对称。而地震波的频带很宽，在有效波的频带范围内可能包含有多种类型的噪声，可以说是一种随机波[7]。所以本文对实际地震资料去噪，将采用db6或db8分解三层去噪。
3.2对地震资料去噪
本文用默认阈值的db6小波函数分解三层对150地震波进行了小波变换去噪，表2列出了其中10地震波去噪的结果。其中Perf0为0系数个数百分比，Perfl2为保留能量百分比。图2显示的是地震事件20070831085444-1.evt中的LQS台站记录的垂直方向的地震波去噪的结果。
图2表2中序号5的垂直方向去噪
表2 对实际地震波去噪的结果
序号事件名台站名Perf0Perfl2Per平均绝
对误差
1
20061230115148-1.evtLQS69.202198.87700.99445.7242
220061230115148-1.evtNKY73.907296.57000.982723.9518
320070504200909-1.evtLBG72.409798.02320.99016.7755
420070504200909-1.evtLBP79.614592.20080.960121.4148
520070831085444-1.evtLQS74.365990.89360.953327.8111
620080113155946-1.evtSHC80.570299.09450.995514.4488
720071211185925-1.evtJIK81.244999.22500.99617.4840
820070610175945-1.evtSHC81.086999.48390.99745.7768
920070610175945-1.evtNKY84.113090.55780.95153.2413
1020060728165008-1.evtSHC75.262599.78290.99892.7210
4结论
通过实际地震资料去噪的结果可以看出，小波变换可以有效地去除地震信号中的噪声成分，保留有用信号的特征。并且通过实验发现，小波函数db比小波函数sym更适合在地震信号中去噪。相对于传统的去噪方法（即傅里叶变换）来说，小波变换去噪对信号的影响相对较小，噪声去除更加彻底，信号细节保留也更加完整。在小波域阈值去噪中，小波基选择直接影响去噪效果，因此对于不同的信号要选择合适的小波基及其去噪的方法。
参考文献：
[1]潘泉,张磊等.小波滤波方法及应用[M].北京:清华大学出版社,2005.
[2]董长虹.Matlab小波分析工具箱原理与应用[M].北京:国防工业出版社,2004.
[3]夏洪瑞,朱勇,周开明.小波变换及其在去噪中的应用[J].石油地球物理勘探,1994,29(3):274-285.
[4]D.L.Donoho.De-noising by soft-thresholding[J]．IEEE Transactions on Information Theory,1995,41(3):613-627.
[5]张华,陈小宏,杨海燕.地震信号去噪的最优小波基选取方法[J].石油地球物理勘探,2011,46(1):70-75.
[6]石岩峻．地震资料的小波去噪方法[J].内蒙古石油化工,2010(6):47-48.
[7]李英,张淑贞,许康生.小波去噪方法在地震信号处理中的应用[J].西北地震学报,2006,28(2):159-162.
