摘要:本文针对当前《计算方法》课程教学中存在的问题,从改进教学方法、合理设计课堂教学内容、抓好实验教学等角度探讨多项式插值的教学,从而激发学生学习本课程的兴趣。
关键词:插值多项式人口预测数值实验
1引言
科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科,是数学及计算机实现其在高科技领域应用的必不可少的纽带和工具。计算与理论及实验一起已成为当今世界科学活动的主要方式。科学计算在经济、航空航天工业、工程领域、国防、数值天气预报等领域具有非常重要的作用,如石油勘探开发是高风险产业,需要精细了解地下构造、确定油藏规模、定量掌握地下油气流动过程,如能使用计算将可节省数以亿计的勘探经费。在发达国家,科学计算成了科研人员的家常便饭,而在我们的国家,科学计算的普及程度和广泛应用还十分有限。科学计算的核心是计算方法。计算方法等课程正是科学计算的最重要的基础课程。计算方法课程的一大主要内容是插值法。
插值方法是数值分析中的基本方法。插值技术在工程实践和科学实验中有着广泛而又十分重要的应用,例如:在信息技术中的图像重建、图像放大过程中为避免图像失真、扭曲而增加的插值补点、建筑工程的外观设计、化学工程试验数据与模型分析、天文观测数据、地理信息数据的处理、社会经济现象的统计分析等方面,插值技术的应用是不可或缺的。另外,插值也是数值积分和数值常微分方程中算法的基础。常用的插值函数有多项式、有理函数、三角函数、指数函数,其中多项式和有理函数作为简单函数被广泛关注。尽管多项式插值应用如此广泛,但学生对多项式插值的学习兴趣仍不浓。这一方面跟教师的教学方法有关,另一方面也取决于学生的学习态度。本文主要从改进教学方法、合理设计课堂教学内容、抓好实验教学等角度探讨多项式插值的教学,以激发学生的对本课程的兴趣。
2改进插值多项式教学模式的建议及方法
当今,《计算方法》课程教学和学生学习存在很多问题:课程内容多,教学时数少、教学方法和教学手段单一、教学内容体现不出本课程的广泛性应用、强调理论的教学和不重视学生的实践操作、计算公式多且长,推导过程繁琐且抽象;学生的基础薄弱、编程能力差、学习自觉性不强、学习兴趣不浓、沿用学习其它数学理论课程的学习方法和思维方式。为改进课题教学,提高教学质量,丰富课堂的知识,增强学生的学习兴趣和学习积极性,措施很多。下面详细介绍我们在教学中进行的尝试。
(1).模拟前辈计算分析大师们探索计算方法的思想,提高学生的逻辑思维能力及创新意识。
(2).介绍一点插值的历史,特别是国内的跟插值有关的或跟大家比较熟悉的数学大家有关的插值方面的历史。数学史不仅可以丰富课堂教学内容,提高学生的学习兴趣,而且能培养学生的爱国热情和激起学生的民族自豪感。现代的教材中许多定理、公式都冠以外国数学家的名字,这样往往易使学生认为我国在古代及现代对数学都没有什么重要贡献。中国古代数学成就辉煌,既有系统的理论又有丰硕的成果,直到16世纪许多数学分支在国际上都处于领先地位,是名副其实的数学强国。
在中国,早从东汉时期起,学者们就惯用插值法来推算日月五星的运动。在天文观测中,人们不可能每时每刻都进行观测,因此只能得到日月五星某些时刻在天球上的位置。利用这些观测记录推算日月五星在其他时刻的位置,就要用到插值法,这对于天文计算特别是日月交食的推算是十分重要的。实际上在《周髀》和《九章》中就已有了一次插值(或称线性插值)公式。东汉末天文学家刘洪制订《乾象历》,为计算月球在近地点后 日的共行度数,采用了一次插值公式;此后,曹魏杨伟、姚秦姜岌、刘宋何承天、南齐祖冲之等各家历法计算月行度数时也都采用了这种算法。随着天文学的发展和观测精度的提高,天文学家不仅发现了月球视运动的不均匀性,而且也发现了太阳和五星视运动的不均匀性,也就是说,日月五星的视运动并非是时间的一次函数。为了编制更好的历法,特别是为了精确计算合朔和交食时刻,何承天、祖冲之以前所长期采用的一次插值法,误差太大,已经不能满足这种要求,于是中国天算家开始了新的探索。隋开皇二十年(600),天文学家刘焯在他所编制的《皇极历》中,在推算日月五星视运动度数时,首先创用了等间距二次插值公式,这个函数式很好的符合了他当时的实验观测到的数据,并且这个公式实际上就是后来著名的牛顿插值公式的前三项。17世纪之后,牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。
(3).计算方法涉及的问题都是从实际中提炼出来的,因此,每种数值方法的讲授都应该尽量从实例中提出问题,引导学生思考如何运用数学知识去构造解决的方法,然后再给出相应的数学理论。根据不同专业,可采用一些学生比较熟悉的或与学生专业背景相关且容易理解的例子,从而引起学生的重视。例如,插值法经常用于补充表格中的间隔部分。美国从1940年到1990年进行了六次人口普查,具体数据(亿人)如下表1。
推测1930年、1965年、2010年的人口。
(4).课堂上进行程序设计和程序演示及算法比较。通过算法的程序演示,学生能亲眼目睹不同算法在求解问题上的差异,加深了对所学内容的理解。学生普遍反映,通过课堂程序设计和程序演示,不仅能够学到算法的构造原理,而且能够了解数值方法的设计、实现的全过程,提高了学生理论与实践相结合的能力。
(5).采用多种方式构造算法,探求学生易理解和接受的构造形式,培养学生的发散思维。
设函数在区间上有定义,是区间上取定的个互异节点,且在这些点处的函数值为已知,即。可以唯一地确定一个次数不高于的插值多项式
(1)
使
(2)
成立。对满足插值条件(2)的次Lagrange插值多项式的构造,有很多构造方法。
方法一:先假设次多项式为,然后通过插值条件解线性方程组。当较大时,这种方法不仅复杂,而且计算还很难准确,线性方程组不稳定。
方法二:直接构造插值基函数。教材上,一般先构造低次插值如线性插值和抛物插值,找出基函数满足的条件,再给出次Lagrange插值多项式的基函数,构造次Lagrange插值多项式,然后证明该多项式是否满足插值条件或者直接给出次Lagrange插值多项式的具体表达式。
下面我们将紧密联系线性代数的线性方程组的解的相关知识,给出另一种构造方式。根据插值条件(2)有
(3)
结合式子(3)和(1),可得
(4)
方程(4)写成矩阵的形式为
(5)
要使关于未知数的方程(5)有非零解的充分必要条件为系数矩阵的行列式为0,即
上面的行列式按最后一列展开,再由范德蒙行列式可得Lagrange插值多项式
这种构造方法充分体现了Lagrange插值多项式的特点,很容易写出插值基函数。在教学中应用这种构造方式,Lagrange插值多项式的基函数就显得自然而然。
(6).加强上机实践,提高动手能力。增加实验课程,激发学生的创造力。本课程具有很强的实践性,其中实验教学是培养学生创新和实践能力的重要环节。在实验教学中,学生可将掌握的数值方法和技巧应用于实验中,反过来,又可以通过选择算法、编写程序、分析数值结果,独立地完成实验,又可以使学生深入研究并培养数值方法的基本原理和计算技能,提高学生应用技能,培养学生独立分析问题和解决问题的能力,激发其强烈的学习兴趣。同时,良好的数值实验又能激发学生的创造力,产生新的思路,思考新的方法,从而达到理论与实际相结合的和谐统一。另外,组织较大的设计课题,要求几个学生共同完成,在锻炼学生的动手能力的同时也培养了学生的团队精神。对特别优秀的学生,可鼓励接触科研课题,为以后从事现代科学科研工作以及工程和科学计算实践打下良好的基础。
(7).选择某一课题,撰写课堂论文,锻炼学生综合运用所学基础理论、专业知识和基本技能,有利于深化所学的知识,培养学生观察问题、分析问题和创造性决问题的能力,同时激发学生学习数学的积极性。我们要求写的论文方向是计算方法在实际生活工作中的运用,只要举个例子,叙述用所学的算法解决该实际问题的完整过程,字数1000以上。
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