摘要：训练学生用“配凑法”解数学题，可以启迪思维、拓宽思路，文章总结了“配凑法”解数学题的常见八种表现形式。
关键词：配凑法；解数学题；表现形式
“配凑法”解数学问题在初、高等数学中都很常见，初中因式分解中的加、减辅助项以及解一元二次方程的配方法，直至微积分中的凑微分积分法都属配凑法。实质上，“配凑法”是一种迂回的解题方法，体现了化归的思想，它指的是在解答数学问题的过程中，巧妙地配、凑一些适当的数或式、图形，以获得或化归成利于解答的形式。由此看来，“配凑法”是一种数学基本技能，适当拓展也可以成为解题技巧。在数学教学中，有意识地介绍“配凑法”，对启迪学生思维、拓宽学生解题思路、提高学生解题能力是大有裨益的。下面介绍“配凑法”解初等数学题的八种常见表现形式。
一、原式配凑
有些数学问题，可对原式（条件）直接进行配凑，以变成可用公式、定理或达到整体效果。这是最简单的一种配凑法，多用于代数、三角学中，其具体做法不外乎是恒等变形，如同加（减）、同乘（除）、同乘（开）方等。
例1：解不等式->0
分析：按如下常规方法去解，较麻烦。
x-7≥0
2x-13≥0
（
）≥
（）
而用配凑法，将原不等式化为->0
显然当x-7≥0时，上述不等式成立，从而得出答案。
例2：求cos20°·cos40°·cos60°·cos80°的值
分析：20°、40°、80°恰好有2倍角关系，而cos60°=可不必考虑变形，故分子、分母首先同乘以2sin20°配凑成二倍角公式，以后反复几次，得答案。
例3：（1987年美国奥赛题）求下式的值
I=
分析：注意到分子、分母中的重要数分子324=4×34，分子、分母中的4次幂的底数都各自成等差数列，可尝试将每一个因式再分解因式降幂，而分解因式必然要进行加、减辅助项配凑，即a4+4b4=（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2=…=[（a+b）2+b2][（a-b）2+b2]。
特别地a4+324=a4+4×34=（a+3）2+9][（a-3）2+9]
由此可求得（分子、分母约分后）
I=。
二、对偶配凑
数学中相对成偶的知识比比皆是，如加减相对、乘除相对、原式与倒数相对、正弦函数与余弦函数相对等。有些数学问题直接从原式（条件）入手很难，甚至不可能。这时若分析题中各部分的结构，有意地进行各部分配偶成对，则出现了另一番新天地——问题迎刃而解。
例4：（1995年理科高考题）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值
分析：直接变形计算较麻烦。但根据正、余弦函数的对偶关系，对原式M=sin220°+cos250°+sin20°cos50°
可配凑一对偶式N=cos220°+sin250°+cos20°sin50°
易想到二式相加、减M+N=2sin70°
M-N
=--sin70°解得M=，得出答案。
例5：已知f （x）-2f （）=x，求f（x）解析式
分析：抓住函数符号中x、的倒数关系，对已知式：
f （x）-2f （）=x①
易想到配凑成对偶式（上式中的x用代替）：
f （）-2f （x）=②
由①+2×②整理得f （x）=-。
三、错位配凑
数列通项为二式之积，因式之一成等比数列，另一因式成等差数列，它的求和问题可在原求和式的基础上，各项同乘以公比，使由此得到的二个式子中，交错位置上配凑成了同类项，因此再使用二式相减的方法达到目的。该方法就是错位相减法，它的原型是推导等比数列求和公式出现的。
例6：已知x≠1，求1+2x+3x2+…+nxn-1的和Sn
分析：对Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1①
的两边同乘以x（配凑成错位同类项）
xSn=x+2x2+3x2+…+nxn②
①-②得Sn（1-x）=1+x+x2+x3+…+xn-1-nxn
∴Sn=。
四、倒序配凑
无独有偶，等比数例求和公式的推导法——错位相减法经常使用；同样，等差数列求和公式的推导法——倒序相加法也能常常运用，要善于发现顺序与倒序相等的关系，设法进行倒序配凑。
例7：求和：3C +6C+9C+…+3nC
分析： 因为C=C（k=0, 1, 2, …,n）,所以可以用反序配凑，即
令Sn=0·C+3C+6C+9C+…+3nC①
将上式中右边各项的次序倒过来，得
Sn=3nC+3（n-1）C+3C+0·C②
①+②得2Sn=3n（C+C+3C+…+C）
即得Sn=3n·2。
五、叠项配凑
当多项齐次式需求和或积时，往往直接变形难以入手。这时进行叠项配凑，有了对称的美感，也因此得到解题方法。
例8：（1987年中国数学奥林匹克集训队训练题） 已知a，b，c∈R+，求证：a5+b5+c5≥a3bc+ab3c+abc3
分析：一般运用排序不等式来进行证明，但比较复杂。如发现它为齐次不等式，则可运用平均值不等式进行叠项配凑，从而迅速获解。
略证：由平均值不等式得
3a5+b5+c5=a5+a5+a5+b5+c5≥5a3bc①
同理，得a5+b5+c5≥5ab3c②
a5+b5+3c5≥5abc3③
由①+②+③整理，即得a5+b5+c5≥a3bc+ab3c+abc3。
六、图形配凑
图形配凑，自古有之，如古代中国数学名著《九章算术》，在求面积、体积时使用的割补术，就属图形配凑，因为通过割补、配凑，图形得以规范、常见，从而求解。
例9：在△ABC中，已知三个角∠A、∠B、∠C的对应边为a、b、c，且∠A=120°，
求证：S△ABC=[a2-（b-c）2]
分析与略证：由∠A=120°，知∠B+∠C=60°，因而由题中的三个三角形配凑成一个等边三角形花环（如图）
由图很易求解
S△ABC =（S等边△BCD-S等边△AEF）
=[a2-（b-c）2]。
七、联想配凑
许多数学问题在原小范围的系统内难以解决或解决很麻烦，这时若仔细观察，善于联想，将其配凑与其有密切联系的其他数学问题，从而使问题较易解决。
例10：求证：1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3），n∈Z+
分析：常规解法是数学归纳法，但很烦琐。抓住通项特点
n（n+1）（n+2）=P=3!C
知左边=3!C+3!C+3!C+…+3!C+=3!（C+C+C+…+C）=3!C=右边。
八、同构配凑
严格地说，同构配凑不能算一种配凑方法，它给出的是解题方向，目标是达到同构变换，至于具体的配凑，仍是以原式配凑、联想配凑等为主要手段，通常经过巧妙配凑，能实现数与形、代数与三角、三角与几何等之间的转换。
例11：（2001年全国高考文、理科题）在正三棱柱ABC- A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（A）60°、（B）90°、（C）105°、（D）75°
分析与略解：由图形的规范性，容易联想到配凑两个较简单向量与，然后求数量积而达到目的。当然这要求恰当建好坐标系，如图，以A1B1的中点O为原点，建立空间坐标系，设，BB1=1则易求得=（，0，-1），=（，-，1）
从而由·=…=0得知答案为（B）90°。
例12：求函数y=的值域
分析：按常规方法——“判别式法”求解，由于出现四次方程无法求解，但将函数关系适当配凑：
y=··，令x=tan··=sin2·cos2=sin4
故有-≤y≤。
例13：（1978年全国高考题）已知、β是锐角，且
3sin2+2sin2β＝1，3sin2+2sin２β＝0，
求证：+2β=
分析与略证：由降幂公式sin2r=，可将第一个已知式变成3cos2+2cos2β=3，由此可知2、2β仍为锐角，再结合第二个已知式，易联想需配凑一个满足二个等式的等腰三角形（如图）。
于是由图显然可知，2+4β=π，从而+2β=。
需要指出的是，前六种方法可以说是同一系统内的配凑，相对容易掌握；最后两种是不同系统内的配凑，要求有扎实的数学基础知识和灵活运用能力。当然，各种配凑法也不一定孤立使用。
