摘 要：以一道力学题为例，论述了小量分析和对称性分析法在解题中的重要意义。教师在教学中，应倡导学生运用这些方法，让他们从中得到思维能力的培养。
关键词：小量分析；对称性；思维能力
中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2007)6(S)-0009-2
1 引言
培养学生的思维能力乃是教师的天职。教师在教学中，不论采取何种方法，其着眼点不仅仅是为了解决对知识的传授，更重要的是要激发学生去思维，使他们的应变能力及解决实际问题的能力等各种能力都得到培养和提高。
例如，对于变力做功问题，在普通物理学中利用微积分这一数学工具，很容易获得解决。然而，这样解题在培养学生的思维能力方面往往不一定会给学生带来多少益处，因为使用微积分对大学生来说乃是很平常的事。如果我们在教学中，对于有些问题，除了使用高等数学工具外，还有意识地提出一些限制，要求他们加强对问题的分析，采取一些特殊的方法对问题求解，不但能使他们从中学到并掌握多种解题方法，而且还能对其分析能力和思维能力的提高起到极大的促进作用。
2 用小量分析和对称性分析法求变力的功
顾名思义，小量分析法就是在解决某具体问题时选取小量，针对题给条件和要达到的目标进行分析，然后运用相关知识得到需要的结果；对称性分析法则是根据问题建立模型，然后分析它们的对称性，让对称的部分叠加后相合或相消而化简计算，从而顺捷便利地得到结果。由于即使是中学生，因他们已学完了极限的概念，取小量对他们来说，是完全可以接受的。因此，在教学中，只要教师讲授得法，利用小量分析法与对称性分析法来解决变力做功问题是完全可行的。
2.1 例题及分析
例题 如图1所示，将一横截面为圆形的长管弯成半经为R的半圆形轨道ACB并将其置于竖直平面内，今在轨道内放一质量为m的小球，其直径比圆轨截面圆的直径略小，用一轻细线系住小球以力F拉之使其保持线速度v不变地从半圆形轨道下端A运动到上端B，若小球与轨道壁间的动摩擦因数为μ（恒量），试求该过程中外力F所做的功。
分析 这是一个变力做功的问题。如前所述，对于大学生来说，他们学过微积分，较为容易解决，但在这里不使用微积分求解而强调分析和解题方法的选用，对他们来说也是有好处的；对于中学生，虽有一定难度，但若运用他们已学过的极限概念，亦不难求得结果。从下面的解答过程来看，不论是对中学生还是对大学生，其解题思路对他们都将有很大启发。
我们先来考虑小球的运动过程。如果小球的速度较大，在自A至B的过程中，它总会与轨道外壁接触，壁对小球的支承力的方向总是指向圆心；如果球的速度不太大，其沿轨道运动就会出现两个过程：先沿外壁运动到某一位置D（CD弧对应的圆心角为θ0），然后再沿内壁运动，且从外壁向内壁过渡的瞬间，壁对球无支承力，故本题要分两种情况讨论。
2.2 解答
（1）速度较大时
在AC弧段,这时小球受到四个力，即重力mg、外拉力F1、摩擦力f1和轨道壁的支承力N1，并且它们满足方程：
因速度不变，动能不变；上式中第一项就是外力克服摩擦力所做的功，而第二项就是为增加小球的重力势能外力所做的功。
(2)速度不太大时
小球在AC段因有切向速度及重力沿半经方向的分量背离圆心，故这段只能接触外壁；在C点处也不会过渡到内壁，因若在C点过渡，小球在离开外壁后而尚未接触到内壁时将失去壁的支承力，重力与外拉力都与OC垂直而不能提供向心力。所以小球一定是在CB弧上的某点D由接触外壁过渡到接触内壁。设CD弧所对的圆心角为θ0，则在D点有：
前两项为外力克服轨道摩擦力所需做的功，第三项则是为增加小球势能所要做的功。
至此，初看似要用高等数学的微积分才能解决的变力做功问题，我们只采用小量分析并结合对称性分析便轻而易举地解决了。
3 评析与启示
在上例求解变力做功的过程中，利用小量分析和对称性分析，只要教师稍有点拨，学生就能将自己的思维跟上分析并很好地发散开来，综合利用弦与弧及其向直径的投影等和做功关系，很好地理解和接受，在建立起求和式子后并把该式计算出来。然而，他们往往不会去考虑小球运动速度的大小，因题给条件就是线速度大小v不变，结果大多会只给出①的答案；或者有的人虽考虑到速度大小将造成小球先接触轨道外壁尔后改为接触内壁，但也会认为是在C点过渡。因此，教师此时应即刻抓住要害给予点拨，说明在C点不能过渡的原因及列式求出过渡点D的位置（对应的圆心角θ0即④式）。
从④式不难看出，如果v2>Rg，θ0不存在，其物理意义就是小球总沿轨道外壁运动；若v2=Rg，θ0=π/2，这时小球沿外壁运动直到达顶点B，并且mg=mv2/R，即在B处时仅重力作为向心力；当v2
通过对这道力学题的讨论，学生不难体会到小量分析与对称性分析法的重要性，对于像变力做功这样似难实易的问题，只要开动脑筋，积极思维，也可迎刃而解。
(栏目编辑赵保钢)
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