数学中的向量与物理中的矢量

体会学科思想—解决实际问题的过程，这个过程中既有物理学科的知识和方法，也有数学学科的思想和方法，二者交融在一起。

学科穿越的设计要以学生现有的学科认知为基础。平面向量单元的概念较多，核心概念是向量，它的两个要素是大小和方向，需要在向量概念的基础上继续抽象相关的概念。为了整合学生在物理学习中已有的知识和经验，实现数学课的进一步抽象和运算，我们在课程设计的时候设计学生熟悉的物理情境：在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？

Q1.用图和式表示题目中的量及其关系。

Q2.用什么数学方法解释现象？

Q3.问题中的量与数量有什么不同？

Q4.向量的定义和表示方法。

Q5.举例说明你学习过的向量有哪些？

Q6.你能发现问题中的向量之间有哪些关系？

Q7.分别从大小和方向两个角度说明问题中特殊的向量有哪些？

Q8.如何计算做一次引体向上需要消耗的能量？

Q9.物理中的平行四边形法则和数学中向量的加法有什么关系？

Q10.平面向量的代数形式是什么？

在物理情境的引导下，学生能够自发地提出上述的一些问题。学生提问题的过程就是参与思考、进行数学抽象的过程。与以往的概念和运算学习相比，学生对概念抽象的意义理解更深刻，对概念的本质把握更准确，在经历了充分地分析和抽象以后，学生不仅能够自主地建构平面向量的概念网，而且也体验了将知识应用于生活的过程。

要通过穿越学科的边界来看问题的本质，比如，物理学科中矢量的分解问题，对应到数学内容上是平面向量基本定理，体现出数学学科基本量的思想，即要用平面内基本的量来表示平面内的任意一个向量。这个内容在物理学科中有相应的体现，如图2所示。

图2

这个问题的实质就是平面向量基本定理的应用，需要学生结合知识进行物理现象的想象并用运动轨迹呈现出来。在平面向量基本定理教学的时候，可以从基本的物理问题出发进行探究：任何一个力都可以沿着两个方向进行分解吗？如果能，说明怎么分解，如果不能，说明理由。需要学生将这个问题用数学语言进行描述，应用已有的向量加法法则进行探究，最后给出严格的数学证明，是物理实验结果的抽象化和逻辑化的提升。怎么让学生体会平面向量基本定理中蕴含的基本量的思想？我们设计了图3的例题。

图3

这个例题的设计，教师关注三个方面的内容：（1）在同一基底下表示不同的向量；（2）在不同的基底下来表示同一个向量；（3）比较选取不同基底的优劣，突出对数学思想的体验过程。

评估也能够体现出穿越学科边界学习的意义。作为数学学习的一种评估，我们设计应用数学方法来解决的物理问题，比如说这样的一个问题：如图4所示，电线AB下有一盏电灯，用绳子BC将其拉离墙壁。在保证电线AB与竖直墙壁间的夹角θ不变的情况下，使绳子BC由水平方向逐渐向上转动，则绳子BC中的拉力的变化情况是（）

A. 逐渐增大

B. 逐渐减小

C. 先增大，后减小

D. 先减小，后增大

这一问题的解决对学生来讲有一定难度，对于物理中的三个矢量来说，其中一个矢量始终是不变的，另外一个矢量是方向不变，第三个矢量是大小和方向都在变，这是从变化的角度来分析物理中矢量的变化。那么构建数学模型以后，学生就需要应用学习的向量加法的三角形法则进行分析，对矢量进行平移，平移以后已经不是具有物理意义的矢量了，而是应用数学中向量的三角形法则，还可以进一步应用函数的模型解决，应用数学知识解决物理问题也是物理学科中重要的能力之一。

在学科穿越的过程当中，怎么能够体现学科的本质？需要从学科素养的培养角度审视我们的设计。数学建模是数学学科重要的学科素养，目前学生在这方面相对较弱，我们设计了“功”的主题研究，让学生从学科发展和学科融合的方面进行知识和方法的总结，体会数学和物理学科的相互融合和相互促进，形成学科思想指导下的认知整体。

图5 数学思想统领学科穿越

数学学科和物理学科的关系非常紧密，比如学生接触到的物理公式与数学学科的函数模型是对应的，都体现了变量和对应思想，物理学科中有简谐振动、匀速圆周运动，怎么来刻画这些物理现象，三角函数是必要的形式……学生对问题的认知是一个整体，打破学科边界对学生能力培养的束缚，还要突出学科的本质，对教师的课程观和课程建构能力都是很大的挑战，我们愿意进行尝试和改进，深度学习，从认识学生学习开始。

课题合作者：曾辉、张国宏、牛惠敏

（作者单位：北京市海淀区教师进修学校附属实验学校）

责任编辑：任媛媛

renyy@zgjszz.cn

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