摘要：本文将平衡态统计力学的密度矩阵和量子力学传播子类比， 从路径积分形式计算了自由粒子的统计密度矩阵.从路径积分表达中，我们看到了经典分析力学到量子统计力学的深刻关联.
关键词：路径积分统计力学密度矩阵
量子理论的路径积分形式以特殊的数学形式体现了微观体系的运动规律. 在费曼提出量子力学路径积分表述前， 这种数学体系已被广泛运用于布朗运动和扩散问题的研究中. 在现代量子场论中， 只要将相对论量子场中的时间看成虚时， 并将虚时表达为温度场的倒数， 则统计力学和相对论量子场论具有完全相同的数学形式. 本文详细计算讨论了量子力学传播子到统计力学密度矩阵的过渡， 这些类比也将加深对经典分析力学到量子力学和统计力学过渡的理解.
一、量子力学的路径积分形式
考虑一个微观粒子从 运动到 ，事件对应的时间为 和 . 经典力学认为粒子走两点间的最短路径，量子力学路径积分认为粒子可以走连接两点的任意路径且每条路径对应的振幅是相同的，但是每条路径对应的相位不同.总的来讲，从 运动到 的概率为几率幅的模方： ，这个几率幅为所有路径的总贡献
这里求和表示对所有路径求和. 其中每条路径的贡献为 ，这里 为沿着路径 的经典作用量
这就是量子力学路径积分的主要思想. 若我们知道了从过去到达 的几率幅，这个几率幅叫做波函数，则根据路径的可叠加性，粒子出现在 的几率幅构造为
这里定义了函数 ，称为传播函数或传播子.这个等式告诉我们 处的几率幅是粒子传播到 处再传播到 的结果，因为 是任意的，所以必须对该空间点积分.从这个定义我们还可以得到传播子满足链式规则
这里 代表一个空间点。在量子力学中， 表示空间 处的几率.将（3）乘以自身的复共轭，由量子几率守恒得到传播函数满足关系式
将 看成 的函数，可以证明它满足薛定谔方程
这里 表示粒子的质量， 表示以 为中心的势场.必须指出，只有当时间 时，传播子 才有定义；当 时，
一般地，对于一个量子力学系统，哈密顿量为 在两个时空点 和 间的传播子可以表示为
其中 称为时间演化算符.为了得出统计力学的路径积分形式，我们先求量子力学薛定谔方程的路径积分表示.对于薛定谔方程 ，其形式解为 . 对应的传播函数可以表达为 ，为了计算这个传播子，将 无限分割成 等份： . 在 间任意一点对应一个坐标，当 时，对这些坐标积分便可以得到所有路径的贡献。这相当于引入了一个任意 时，坐标为 . 利用完备性关系 有
当 成立时，只取一阶项。
运用动量空间的平面波波函数和高斯积分得
将这些每个 连起来，则定义了一条路径 ，路径 上的点满足 ， .当取 的极限时，有
式中的指数部分的积分表达式为路径对应的经典作用量
传播子就是对这些所有路径的积分： 这是一个 维积分，积分是路径的泛函，泛函积分测度定义为
对于定态的情况，考虑一个具有能量本征值和本征函数 的系统. 处的几率幅可以用能量本征函数展开： 利用正交性关系 可以得到从 到 的传播子为
这里 这一表达式的优势在于用能量本征态完全表示体系的传播子，将会看到，这个表达式和统计力学密度矩阵有着密切的关系。
二、统计力学路径积分类比
对于一个量子系统，体系处于某一状态的几率为 这里 ，根据概率的归一性得到 ，这称为配分函数.考虑系统具有一系列的量子态组态，若体系由量子态 描述，则系统处于 的几率为 现在来计算物理量 的期待值，这样的系统称为混合系统，则整个系统平均处于 的几率为
借助这个式子，定义密度矩阵函数
（13）中的几率函数只是这个函数的对角元，则 称为归一化的密度矩阵，配分函数 .求一个物理量的平均值过程等价于物理量对应的算符和密度矩阵算符做乘积后求迹的过程. 因为几率是归一化的，显然有 成立.令时间差 ，则（11）和密度函数具有完全等价的形式. 在（6）中我们曾证明了量子力学的传播子 满足薛定谔方程，在方程中令 将实时变为虚时，则
可以证明， 也满足相同的方程，即 作变换 则统计力学的密度矩阵可以按照前面的方法得到，
密度矩阵 为
其中积分测度 的定义和前面类似，这就是统计力学密度矩阵的路径积分形式，它表示连接两点间所有路径对密度矩阵的贡献.路径积分以数学的形式体现了时空路径对统计力学的贡献.显然，密度矩阵也满足上面的链式法则，这一点的在密度矩阵的狄拉克符号形式中体现更明显.所以，完备性关系其实体现的是做路径积分的意义. 在 趋近于零的附近运动时，即温度不太低时，对于满足条件且相距较远的那些路径，粒子运动的能很大，这些路径对路径积分的贡献很小. 积分中 很大的那些路径的贡献很小也可以忽略. 势函数的不同形式对应了量子力学的不同系统；势函数的各种处理方案，就对应了统计力学各种近似方法.
现在我们考虑质量为 的自由粒子密度矩阵， 结果可以表示为 维的积分
依次做 完成 维积分得到
配分函数为 ，所以自由粒子坐标空间中归一化的密度矩阵为 这个结果和教材中给出的密度矩阵的结果完全一致. 对于有相互作用的情形，若势函数与路径无关，则密度矩阵（未归一化）为 （20）
利用这个式子可以很方便的求出系统的配分函数，也很容易推广到高维的情形.当势函数与路径有关时，我们必须考虑路径对势函数的影响， 这时经典最小路径不一定比其他路径的贡献大.
三、总结与讨论
本文我们将统计力学与量子力学路径积分形式进行了类比，我们看到路径积分中的传播子和统计力学的密度矩阵有完全等价的数学形式，从路径积分计算同样得到了密度矩阵的表达式.在路径积分体系中，多体系统的性质完全由密度矩阵的路径积分形式来刻画. 从路径积分的角度，我们也可以进一步深刻理解统计力学的内涵. 在对相互作用体系的处理中，经常用到各种的近似方法.多粒子体系经常用到有效势的概念，从路径积分的角度处理有效势是非常有效的，这是路径积分方法的优势之处. 此外，路徑积分把时间和空间等同处理， 在研究和推广具有某种对称性的多体系统也很有吸引力.
参考文献：
[1]张先蔚.量子统计力学（第二版）.北京：科学出版社，2008.
[2]包景东.经典和量子耗散系统的随机模拟方法.北京：科学出版社，2009.
[3]杨展如.量子统计物理学.北京：高等教育出版社（第一版） 2007.
[4]Feynman，PPHibbsAR著，张邦固，韦秀清 译 量子力学与路径积分[M].北京：高等教育出版社，2015.
作者简介：
周江（1986-）男，博士研究生，贵州大学物理学院讲师，研究方向：凝聚态物理。
刘树成（1986-）男，硕士研究生，贵州大学物理学院助教，研究方向：凝聚态物理。
基金项目：贵州大学引进人才科研项目，基金号：201538。
