基于儿童、为了儿童、发展儿童，近年来大家的教学理念越来越突出“儿童本位”，但反观当下的数学课在突出强调以儿童为中心的教学方法改革的同时，却在一定程度上削弱了对“数学本质”的深刻理解。张奠宙教授曾指出：数学教育，自然是以“数学”内容为核心。所以，有效的数学教学就必须在“儿童本位”与“数学本质”之间架构桥梁。下面笔者就以《平均数》为例谈谈我们的实践与思考。
叩问：儿童视角下的“平均数”
苏教版三年级下册《平均数》一课，教材打破传统侧重求平均数方法的教学，强调从统计学的角度来理解平均数——平均数代表一组数据的整体水平。这是教材期望达到的教学目标，但是儿童学习数学一直以来都有其自身的方式，有其独特的视角，那么儿童在学习之前，头脑里对于平均数的感知到底是什么样的呢？
为了准备把握学生的认知起点，笔者对自己任教的2个班级（每班50人）进行了前测。
学生真正了解平均数吗？
儿童视角综述：有31个孩子（62%）把平均数等同于平均分。有15个孩子（30%）眼中的平均数就是中位数。全班仅一个同学涉及到了平均数的意义。
本质思考：对孩子们来说，平均数是“熟悉的陌生人”。由于二年级时已经有了“平均分”的认知基础，所以大部分学生把“平均数”与“平均分”之间画上了等号。但其实平均数与平均分是两种不同的概念，二者既有联系又有区别。
会用计算方法求平均数等于理解平均数的本质内涵吗？
儿童视角综述：对于问题“用你喜欢的方法表示平均数”，有不少孩子在例举中提到了求平均数的方法，如：全班有3个小朋友，分别是6岁、8岁、10岁，那他们的平均年龄就是（6+8+10）÷3=8（岁）。
但只有1个孩子用了“移多补少”的方法。
本质思考：会用计算方法求平均数等于理解平均数的本质内涵吗？答案显然不是，学生是在求平均数时自然地将学习平均分和除法时积累的原有经验同化、迁移。从前测中看出学生鲜有“移多补少”的意识，一直以来大家都认为“移多补少”和“求和均分”是两种求平均数的方法，但其实“移多补少”的思想还有其重要的意义——平均数产生的根源。在移一移的动态过程中，学生能感性地认识平均数的本质意义，并在此基础上产生简洁的、一般化解法——先求和再均分计算平均数。所以，从一般意义上讲，“移多补少”是基本思想，而“求和均分”是基本算法。
学生会选择平均数进行不同组数据之间的比较吗？
儿童视角综述：关于前测二这道题选A的有2人（4%），选B的有11人（22%），选C的有37人（74%）。而在选c的同学方法又是各异的，有的是比每组数据中的最小值，有的将第二组删减一人，有的借助生活经验判断，仅有8个孩子运用了平均数来阐述自己的观点。
本质思考：为什么选择平均数作为两组数据的代表进行比较的学生很少？
首先这与学生的生活活动经验有关。三年级学生所经历的比赛与活动往往比较简单、直观，有些时候通过比总数就可以得到结果，有时增减人数就可以，这些都是学生的学习原型和生活经历。仅仅从比较的维度教师还无法揭示平均数的意义，也无法让学生理解平均数代表一组数据的整体水平。
其次从心理学角度来说，要应用知识，必须理解和掌握这一知识，至少要对这一知识有所接触。学生对平均数的概念还没有建立，而要让他们使用平均数，这与人的认知规律恰好相反。基于以上的学情调查，我们将课堂定位为“儿童立场下的概念本质建构”。
实践：儿童立场下的概念建构
儿童立场下的平均数有以下特点：一是儿童思维的形象性与平均数意义的抽象性之间的矛盾；二是没有把平均数当做统计量来看待，而是理解成“平均分”的结果，那么如何基于儿童已有的知识经验和生活背景从统计学的角度理解平均数代表的是一组数据的整体水平呢？有了上述的调查和思考，笔者设想架构一条充满探索味和研究味的教学思路，让学生在有效探索和自主学习中建构对概念本质的理解，发展数学思维。实践证明，取得了较好的教学效果。以下是教学实践的简要描述：
建立平均数意义
男生套圈情况
出示男生套圈成绩统计图，分别是6个、8个和7个。
师：这是男孩子们套圈的成绩，如果选一个数代表男生的套圈水平，你觉得哪个数比较合适？
生1：用7代表比较合适。
生2：一个比7多1，一个比8少1，从8里面移一个给6，现在他们看起来都套中了7个。
师：像这样从多的里面移一些补给少的，使得每个数都同样多。这种方法就叫做“移多补少”。（课件演示“移多补少”的过程）
生3：先把三个人套中的个数合起来，再平均分成3份，平均每人都套中了7个。
师：这种方法叫“求和均分”。（课件演示“求和均分”的过程）
师：无论是移多补少，还是求和均分，都是把原来几个不同的数变得同样多，这个数就叫做原来这几个数的平均数。这里的7就是原来6、8、7 的平均数。
小结：平均数不仅能代表一组数据的整体水平，还能够帮助我们进行不同组数据之间的比较呢！
感悟平均数的特征
有四个小朋友也在玩套圈的游戏，成绩分别为5、9、6、4，如果用虚线来表示他们套圈的平均成绩。第一幅平均数为9，第二幅……，你认为哪幅图的表示是正确的？和你的同桌说一说你的观点和理由。
交流感悟：平均数应在最大值和最小值之间。比平均数多的部分应该正好等于比平均数少的部分。
追问：如果要达到图4的投篮水平，可以怎么办？
运用平均数解决生活中的问题
师：生活中你们听说过平均数吗？你知道哪里会用到平均数呢？
总结：是的，平均数可以作为一组数据的代表，但不是每一组数据都适合用平均数做它们的代表，今后我们还会研究其他的数。
反思：着眼儿童发展的概念本质教学
“儿童本位”和“数学本质”是小学数学教学的经和纬，课堂上教师在教学时要着眼儿童的发展，基于儿童的认知基础，从概念的整体、本质和内在联系出发，对平均数进行全面分析，突出其本质属性，促进儿童的思维发展，注重儿童能力的提升。从上述实践案例中，我们可以得到一些启发：
概念的有效建构建基于儿童的“生活化经验”
面对新概念，学生并非是一张白纸。生活运用中的点滴积累、数学学习中的前位概念等都能激活数学的“新概念”。教师一方面要积极利用“前概念”的实践性、浅显性、通俗性等特点，有意识地将儿童的“前概念”提升为数学概念；另一方面，也要警惕“前概念”中的错误理解与认识误区，以防对“新概念”的干扰，设法避免或纠正。
概念的有效建构发展于儿童的“过程性探究”
数学概念具有各种属性，有本质的，也有非本质的。儿童建构数学概念的过程实质上就是抽象概括概念的本质属性、舍弃非本质属性的过程。教师应当从概念的多种背景、多重层次、多个侧面、多维结构去揭示概念的内涵。
“平均数”作为“代表一组数据的一般水平”的统计量，还有其他特性：敏感性；一组数据的平均数介于这组数据的最大值与最小值之间；离差之和等于0，即比平均数大的数之和等于比平均数小的数。那么这些概念的本质如何让儿童理解呢？教师设计了丰富的活动，促使他们对平均数本质的理解趋向完善。
概念的有效建构提升于儿童的“广泛性应用”
对于儿童的数学学习而言，数学概念具有奠基性，其高度的抽象性、基础性决定了其应用的广泛性。要真正实现数学概念的有效建构，实现其应用价值，要能在复杂的生活背景中灵活运用数学知识，才是真正深刻理解和把握概念的本质，才能真正提升儿童的能力。
从“儿童本位”出发，向“数学本质”迈进！数学教学不是简单地将数学知识递送给儿童， 而应该从儿童学习数学的心理方式、学习规律等入手对数学进行重新的理解和呈现，促使儿童体验知识产生的过程，对概念主动建构，水到渠成地理解每一个数学知识的本质意义，然后再用之解决生活中的实际问题，从而使儿童在数学学习过程中能够得到充分的发展，数学教学应追求“儿童本位”与“教学本质”的圆融共生！
（南京市力学小学）
