摘 要：文章解决了斜齿轮啮合接触线发生面上的接触线向齿面投影的问题，成功地在斜齿轮三维模型上画出啮合任意时刻下的接触线位置，并选择最恶劣的啮合时刻进行了有限元分析，同时利用ISO 6336齿轮标准中齿轮齿根弯曲强度的经验公式进行计算，并与有限元分析结果进行对比，二者所得到的齿根弯曲应力值基本相同，验证了文章计算的正确性。
关键词：斜齿轮；接触线；齿根弯曲强度
中图分类号：U467 文献标识码：B 文章编号：1671-7988（2018）10-24-04
Calculation of the contact line of helical gear and the finite element anaylsis
of the bending strength
Sun Zhijin， Qiao Yingmin
（ Shaanxi Fast Gear Co. Ltd， Shaanxi Xi"an 710119 ）
Abstract： This paper solves the problem of the helical gear meshing contact line projecting to the tooth surface， successfully draws the contact line in three-dimensional model of helical gear at any time， and chooses the worst meshing moment doing finite element analysis， the bending strength is calculated using empirical formula of ISO 6336 standard and compared with the rusults of finite element analysis， the gear bending stress is basically the same， which verify the correctness of the calculation.
Keywords： helical gear； contact line； the bending strength
CLC NO.： U467 Document Code： B Article ID： 1671-7988（2018）10-24-04
引言
齒轮传动过程中同时参与啮合的轮齿对数在不断变化，在轮齿交替啮合时，轮齿弹性变形引起的刚度改变使齿轮产生振动和噪声。而齿轮的啮合刚度也是随着齿轮啮合而变化，齿轮接触载荷线的位置和长度的改变直接影响齿轮的啮合刚度，进而对轮齿的接触强度产生影响。
接触线的位置随着齿轮的重合度而变化，冯守卫等人改进了斜齿轮接触线长度的计算公式，并总结了接触线长度随εα和εβ的变化规律及啮合过程的动态统计规律。张国锋对直齿轮的接触分析及啮合刚度进行了计算，并采用有限元法建立直齿轮副接触模型进行防治分析，计算了齿轮副接触应力，但没有研究接触线对齿轮弯曲应力的影响。张亮等人对斜齿轮啮合线位置及长度进行了数值仿真，计算了啮合线长度总和，并讨论了螺旋角对斜齿轮的啮合线长度总和的影响。
基于国内学者们目前对斜齿轮啮合线的分析，本文将另辟蹊径，利用有限元仿真方法和ISO 6336齿轮标准的经验公式两种方法对斜齿轮齿根弯曲强度进行计算，两种计算方法互相验证，能够得到更令人信服的齿根弯曲应力值，给齿轮的断齿分析和齿轮强度分析提供有力的理论依据。
1 斜齿轮啮合线计算
1.1 齿轮参数及重合度计算
表1 齿轮详细参数
根据端面啮合线的几何关系，记R0为齿顶圆半径，Rb为基圆半径，Cr为中心距，可以得到如下关系式：
pb为径节，其值为：
n1为小齿轮齿数。
则齿轮副的端面重合度为：
轴向重合度为：
其中：齿宽b为50.7mm，螺旋角为25度，法向模数3.86.
则齿轮啮合总重合度为3.4437。
根据啮合总重合度，可以得知齿轮啮合过程中啮合线的变化情况，齿轮啮合总重合度介于3和4之间，则在一个轮齿啮合周期内参与啮合的轮齿对数有3齿和4齿两种情况。
1.2 主动轮齿面载荷线
对于主动轮，啮合线从齿根向齿顶方向移动，对于被动轮，则啮合线从齿顶向齿根方向移动。
根据公式
可以得出 。
可以得出
从而可以画出齿轮的载荷线如下图所示。
对主动轮单个齿面的啮合线进行分析，从左下角M处进入啮合，随着齿轮转动，啮合线逐渐往右上方移动，处于4齿同时啮合状态，当啮合线移动到a线处，由4齿啮合进入3齿啮合，然后4齿，3齿，4齿，3齿，最后接近齿顶位置时是4齿啮合状态，然后从N点退出啮合。
从整体来看，从4齿进入3齿啮合状态的分界线为a，c，e，从3齿进入4齿啮合状态的分界线是b，d，f。
为了校核齿轮强度，选择齿轮啮合最恶劣的工况，齿轮载荷线臂长越长，则齿根处承受的弯矩越大，应力也越大。因此选择齿轮啮合退出3齿即将进入4齿啮合的时刻，即啮合载荷线为b，d，f。最先进入啮合的齿面载荷线位于f处，中间齿面的载荷线位于d处，第3齿面的载荷线位于b处。
1.3 被动轮齿面载荷线
对被动轮单个齿面的啮合线进行分析，从左上角N处进入啮合，随着齿轮转动，啮合线逐渐往右下方移动，处于4齿同时啮合状态，当啮合线移动到f线处，由4齿啮合进入3齿啮合，然后4齿，3齿，4齿，3齿，最后接近齿根位置时是4齿啮合状态，然后从齿根M点退出啮合。
从整体来看，从4齿进入3齿啮合 状态的分界线为f，d，b，从3齿进入4齿啮合状态的分界线是e，c，a。
为了校核齿轮强度，选择齿轮啮合最恶劣的工况，齿轮载荷线臂长越长，则齿根处承受的弯矩越大，应力也越大。因此选择齿轮啮合退出4齿刚刚进入3齿啮合的时刻，即啮合载荷线为f，d，b。最先进入啮合的齿面载荷线位于b处，中间齿面的载荷线位于d处，第3齿面的载荷线位于f处。
2 有限元分析
2.1 有限元模型
齿轮所用材料抗拉强度为766MPa，使用第四强度理论的MISES应力进行强度校核。
使用ANSA进行有限元前处理，完成网格模型和分析模型的建立。通过ABAQUS求解进行分析计算和后处理，计算中物理量采用T-mm-s单位制。
对齿轮的啮合力进行计算。变速器额定输入扭矩为2400Nm，采用三倍静扭扭矩，则一轴分速齿轮扭矩为：
从而可以计算出齿轮啮合力（分度圆处）：
主动轮有限元模型：
1）将齿轮花键表面约束所有自由度，以消除刚体位移。
2）将齿轮内孔耦合于中心处，保留轴向扭转自由度，约束其他自由度。
3）将齿面载荷线处施加齿轮啮合力，以模拟被动轮对其齿面的啮合力。
被动轮有限元模型：
1）将齿轮内孔耦合于中心处，约束其所有自由度以消除刚体位移。
2）将齿面载荷线处施加齿轮啮合力，以模拟主动轮对其齿面的啮合力。
有限元模型如下图所示：
完成有限元模型后，提交ABAQUS进行计算。
根据有限元分析结果，主动轮齿根处最大应力出现在中间啮合齿面的齿根处，最大应力值650MPa。被动轮齿根最大应力出现在中间啮合齿面的齿根处，最大应力560MPa，均低于材料抗拉强度766MPa，安全系数分别为1.18和1.37。
2.2 计算结果分析
齿根受脉冲循环载荷，为弯曲变形，根据ISO 6336标准，齿根弯曲应力基本值计算公式为：
其中，Ft：端面内分度圆上的名义切向力，N；
b：工作齿宽，mm；
mn：法向模数，mm；
YF：齿形系数，由式 确定；
YS：应力修正系数，由 确定；
Yβ：螺旋角系数。
YB：齿圈厚度系数；
YDT：深齿系数，对于齿轮精度大于4的齿轮，此系数为1。
上面公式未考虑齿轮副重合度的影响，引入重合度系数Yε， 。
则本文中所计算的齿轮齿根弯曲强度的计算式为：
将具体数值带入公式可得到主动轮的齿根应力计算值为：
被动轮的齿根应力计算值为：
与前面有限元计算结果相比，主动轮的有限元计算齿根应力最大值为650MPa，与根据公式计算出的640MPa误差为1.56%。被动轮的有限元计算齿根应力最大值为560MPa，与根据公式计算出的558MPa誤差为0.36%。
3 结论
本文主要探讨斜齿轮齿面接触线的复杂情况，以某型号变速器的某对齿轮为例，计算了该齿轮副一个轮齿啮合周期内的接触线分布情况，该齿轮副重合度介于3和4之间，因此在一个啮合周期内同时参与啮合轮齿有3齿和4齿两种情况。
为了计算出有限元仿真分析时齿面加载线的位置，将斜齿轮啮合接触线发生面上的接触线向齿面投影，得到最恶劣啮合时刻时接触线在齿面上的位置，然后进行了有限元分析。同时用ISO 6336齿轮标准中齿轮齿根弯曲强度的经验公式进行计算了主动轮和被动轮的齿根弯曲应力。两种方法得到的齿根弯曲应力进行对比后发现数值基本接近，验证了本文计算的正确性，为以后进行斜齿轮接触线的分布对齿轮副啮合刚度的影响及传动平稳性分析提供了有力的理论支持。
参考文献
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