摘 要：在电子汤普孙散射的经典理论的基础上，通过理论分析和计算机模拟，研究圆偏振周期量级激光脉冲作用下电子辐射的空间分布特性，提出可能的应用方向。研究发现，在相对论光强下，随着激光强度的增强，电子辐射逐渐增强，能量不断的向辐射中心集中，辐射能量分布的方向性逐渐突出；当改变激光的初相位时，电子辐射的总体方向发生偏移，表现为辐射分布图形的对称平面发生旋转，且旋转角度与激光初相位角改变大小相同。本文所进行的相关探讨基于电子辐射的三维空间立体图，所得到的有关电子谐波辐射的结论，可以为实验和工程上对电子辐射和激光参数测量的相关应用提供参考。
关键词：圆偏振；周期量级；电子辐射
近十年来，由于激光技术的迅猛发展和啁啾脉冲放大（CPA）技术的广泛应用，使激光脉冲的峰值强度提高至太瓦甚至拍瓦数量级，脉冲宽度也由ps短至fs，这使得谐波辐射的研究发生了质的飞跃，为研究相对论电子动力学有关问题提供了新的途径。由于在相对论光强作用下，电子的振荡速度可接近光速，此时光场中的磁场可以和电场相比，而电场和磁场对电子的共同作用使得电子的汤姆孙散射形成了相对论的、非线性的复杂问题，因此引起了很多学者的关注。目前已有不少理论和实验结合自由电子或完全电离的等离子体，研究强激光驱动下的电子的运动轨迹和谐波辐射特性[1-10]。这些理论和实验，对包括医学成像、X射线诊断学、核共振吸收、显微术、固体物理和材料科学等领域来说有着巨大的革新意义。
基于上述认识，我们采用单电子模型，结合电子在激光场中的运动，忽略散射场对电子的反作用，从理论分析和计算机模拟上，研究圆偏振周期量级激光脉冲作用下电子振荡导致的辐射的三维空间分布特性，给出在不同强度和不同初相位激光脉冲作用下电子辐射功率的三维空间立体图及对图像的定量描述，并据此详细讨论了激光脉冲强度和初相位对电子辐射能量的空间分布形态的影响。根据具体的形态变化，该文建立了激光强度、相位和电子辐射特性的图像对应关系和函数对应关系，可以为实验和工程上对电子辐射和激光参数测量的相关应用提供参考。
1 作用模型和基本方程
圆偏振高斯脉冲激光电场的归一化矢势通常写成下面的形式：
其中α0是被mc2/e归一化的激光振幅，具体为α0=e|A|/mc2= （其中A为激光电场矢势的振幅，I为激光光强，以W/cm2为单位；λ为激光波长，m和e分别是电子的静止质量和电荷，c为光速）；η=z-t，L=d/2，d是激光的脉冲宽度，δ是偏振参数，对圆偏振光δ=±1，Θ是激光脉冲的初始位相，我们可以任意设定激光脉冲的初始位，初始位相表示当电子刚刚与激光脉冲相遇时激光脉冲的位相，在上面的定义中，空间和时间坐标分别被 和 归一化，ω0和k0分别是激光的圆频率和波数。
假设超短激光脉冲沿z轴传播，静止的电子位于坐标原点，当激光脉冲遇到电子时，电子在激光电场作用下除了在横向做高频振荡外，还被激光脉冲的有质动力推动向前运动，但是这种推动作用只对强激光脉冲有明显效果，在激光脉冲与电子相互作用的过程中，电子会向各个方向发出辐射，若n为电子的辐射方向，则 （θ和ф如图1所示）。
电子在电磁场中的运动可以用拉格朗日方程和电子的能量方程描述[11]
式中，u是用光速c归一化的电子速度；a是用mc2/e归一化的矢势；p=γu是用mc归一化的电子动量， 是相对论因子，也是用mc2归一化的电子能量。方程（2）中的 只作用于a上，因此电子的运动可以通过η的函数来描述，且有 和 ，将方程（2）和（3）经过代数变换，得到下面的方程组：
式中，假设当a=0时，电子的横向速度 ；ε是由初始条件决定的常数，由此电子运动可以被完全决定，电子的速度、位移可以表示为：
由电动力学知识可知，做相对论加速运动的电子会放出电磁辐射，单位立体角内的辐射功率可以表示为[12]：
其中辐射功率 被 归一化，n为辐射方向， ，t´是电子与激光脉冲相互作用的时间，t是观察点的时间，也是相对于t´的推迟时间，t与t´的关系为：
其中R是观察点和电子与激光脉冲作用点之间的距离，我们认为观测点离作用区域足够远。
2 结果分析和结论
根据（8）式易求得做相对论加速运动的电子在全空间单位立体角内的辐射功率及其分布情况。在讨论过程中，我们使用的参数为：γ0=1，即电子初始静止，激光中心波长为λ=1μm，激光脉冲宽度d=2λ0，即脉冲宽度约为6.6fs。采用控制变量的基本实验方法，结合（1）式，先控制激光的初相位不变，观察激光强度对电子全空间散射的影响，再控制激光强度不变，观察激光初相位对电子全空间散射的影响，最后给出结论。
2.1 激光强度对电子全空间散射的影响
（图像说明：左图表示在激光场驱动下，各个方向上的电子单位立体角内辐射功率的数值大小，θ和φ轴表示电子辐射的空间角度。右图是电子立体角内的辐射功率在全空间的归一化分布图像。）
当激光强度指标值a0=0.01时，此时 的值在θ为90度处具有最大值1.0304×10-4，趋近于0，这表示电子辐射功率非常小。此时激光强度低，电子幅射受激光的影响较低，导致电子幅射在各个方向上较为均匀，散射角较大，因此右侧图形近似呈球状。
当a0=0.80，此时 在θ为68度处有最大值，为5.0342；可以发现当激光强度提高时，电子受入射激光的影响，电子辐射面从球形逐渐变扁、变窄，并发生倾斜，电子辐射开始偏向Z轴，空间辐射分布不再均匀。
当a0=1.30，此时 在θ为57度处有最大值，为35.8590，表明电子辐射有较大幅度的增强；激光强度继续增大，电子空间辐射面所构成的闭合图形愈加变薄并明显变窄，中部呈明显凹进，辐射的方向性和集中性得到体现。
当a0=2.00，此时 在θ为45度处有最大值，为263.9933，电子辐射明显增强；电子辐射空间辐射面的形状更加扁平，中部凹陷，横向变窄，前端突出，呈明显卷曲状，表现出能量沿着激光传播方向Z轴正方向向前端集中，能量分布明显不均。
当激光强度a0=2.70，此时 在θ为37度处有最大值1.2095×103。电子辐射的功率非常大；电子空间辐射的三维分布的图像已经非常扁平、卷曲，横向变窄纵向拉长，能量呈现长叶形分布。电子的辐射能量沿Z轴在辐射的前端区域集中，整个图形“倒”向Z轴，能量的集中性和方向性已经非常突出。
为了得到更加一般的规律，我们将a0=0.1到a0=3以0.1为跨度，重点研究辐射的参数变化规律，因为该点可以反映电子辐射整体的变化规律。具体结果如下：
⑴最大值大小呈现如下规律
从图中可以得到如下数据：当a0=0.01时，max=0；当a0=1.0时，max=12.0；当a0=2.0时，max=264.0；而当a0=3.0时，max=2118.5.可以看出，随着激光强度的增大，电子辐射功率剧烈增长，足以说明激光强度对电子辐射强度的影响十分显著。
以上叙述表明，激光强度决定了电子的辐射强度和能量的空间分布形状。随着激光强度的增大，电子的辐射强度快速增长；空间分布形状由表示均匀分布的球形逐渐变扁、变卷，图形横向变窄，纵向拉长，并不断贴近于激光入射轴，这表明相比于其它方向，沿激光传播方向电子辐射前端的能量增长十分迅速，能量的集中性方向性不断增强。
由于强激光作用下电子辐射的非线性特性，目前还没有关于电子辐射强度最大值和激光强度的确切函数关系，我们根据图2.2，可以提供上述关系的拟合函数，并在a0=0.01到a0=3.0 范围内实现大于95%的置信度。具体函数如下：
Max（a0）=18.79*a0^5-59.31*a0^4+112.9*a0^3-85.4*a0^2+ 25.91*a0-1.515 （2-1）
根据式（2-1），既可以根据a0得到相应的电子辐射最大功率，也可以根据电子辐射最大功率得到入射激光的强度。
⑵随着参数a0的逐渐增加，θ角度逐渐减小，减小规律如下图所示
从图中可以得到：当a0=0.001时，θ=90度；当a0=1.0时，θ=63度；当a0=2.0时，θ=45度；而当a0=3.0时，θ=34度。可以看出，随着激光强度的增大，电子辐射的空间分布在逐渐偏向一个特定方向。结合激光入射方向，发现电子辐射能量逐渐趋向激光入射轴。
同样的，根据θ和a0的关系曲线可以得到两者的拟合函数关系，置信度在a0∈（0.01，3.0）区间内大于95%：
θ（a0）=-0.1266*a0^5+0.6676*a0^4-0.9559*a0^3+4.21* a0^2-30.51*a0+90.13 （2-2）
根据式（2-2），可以实现a0与角θ在较高置信度下的相互求解。
2.2 激光初相位对电子全空间散射的影响：
利用控制变量的方法，控制激光强度不变，改变激光初相位：
⑴a0=1.0，相位以90°为跨度从0°逐渐变化到360°时，电子辐射功率大小和全空间分布图形的变化。
⑵a0=2.0，相位以90°为跨度从0°逐渐变化到360°时，电子辐射功率大小和全空间分布图形的变化。
观察以上几组图像，发现电子辐射功率的极大值点会随着激光的初相位发生平“平移”，而电子辐射能量的全空间分布图像则发生了绕激光传播方向旋转的现象。
下面以激光强度a0=2.0为例做具体研究：
从图3.1可以看出，激光的初始相位Θ=0°（360°）时，电子辐射功率在θ=45°φ=0°（360°）处有极大值；电子辐射的能量分布图像关于ZOX平面对称分布。
从图3.2可以看出，激光的初始相位Θ=90°时，电子辐射功率图像整体沿Φ轴发生偏移，偏移量为90°，电子辐射功率极大值现在在θ=45°φ=90°处取到；电子辐射能量的空间分布对称平面绕Z轴顺时针旋转了90°，所以全空间散射现在关于YOZ平面对称。
从图3.3可以看出，激光的初始相位Θ=180°时，与图一相比，电子辐射功率图像整体沿Φ轴发生偏移，偏移量为180°，极大值现在在θ=45°φ=180°处；电子辐射的对称平面绕Z轴顺时针旋转180°，所以全空间散射现在关于XOZ平面对称。
从图3.4可以看出，激光的初始相位Θ=360°时，与图一相比，电子辐射功率图像整体沿Φ轴发生偏移，偏移量为270°，极大值现在在θ=45°φ=270°处；电子辐射的能量分布的对称平面绕Z轴顺时针旋转270°。
为了进一步确定激光初始相位和电子辐射能量分布的对应关系，列出如下表格：
所以，结合上述分析，可得如下关系：
经过研究，我们发现激光初相位决定着电子辐射的对称平面的旋转角度，而对电子辐射强度没有影响。若以φ=0°时的电子辐射功率分布图像为参考，则激光初相位对电子全空间散射分布的影响规律可表述为：激光初相位变化量等于电子辐射功率空间分布的旋转角度。因此，若已知激光入射初相位，则易知电子书散射的对称平面；相反，若已知电子散射的对称平面，则易知激光入射初相位。
3 结论
利用单电子模型研究了激光强度和初相位对电子辐射功率空间分布的影响。研究发现，激光强度决定了电子的辐射强度和能量的空间分布形状，而激光入射初相位决定了电子辐射分布以激光入射方向为轴的旋转角度。随着激光强度的增大，电子的辐射强度快速增长；空间分布形状由表示均匀分布的球形逐渐变扁、变卷，图形横向变窄纵向拉长，并不断趋近于激光入射轴，这表现出电子辐射能量绕激光入射轴并沿激光传播方向逐渐向辐射前端集中，能量的集中性方向性不断增强。随着激光入射初相位的变化，电子辐射的图像发生旋转，说明电子散射发生角度偏移，利用这一性质可通过电子辐射分布对称平面的偏移角度推测激光的入射初相位。根据以上规律，我们提出了几个应用方向，如通过此法获得良好的同步辐射源；建立激光强度、相位和电子辐射分布的对比系，既可以实现电子辐射的精细控制，包括辐射最大强度和方向，也可以通过对电子的辐射空间分布推测激光的强度和相位参数。对电子在超短超强激光脉冲作用下所体现的一系列优良物理性质，特别是对在该情况下电子辐射出的超短X射线脉冲的研究，必将对包括医学、生物学、物理学以及材料科学在内的众多学科产生巨大影响。
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