摘要：一阶RC 电路在方波激励下的时域响应会随着电路参数的变化、电路输出的不同表现出不同的特性。当时间常数远远大于或小于方波脉冲宽度时，电路时域响应会分别表现出积分电路或微分电路的特性。本文对这两种情况下电路的时域响应分别进行了详细讨论，并给出了输出的变化规律，接着讨论了进行这两种电路实验时应该注意的问题，最后对学生做实验过程中容易出现的错误进行了说明。
关键词：一阶RC 电路 方波激励 积分电路 微分电路 时间常数
中图分类号：TM13 文献标识码：A 文章编号：1007-9416(2011)11-0106-03
RESEARCH ON THE RESPONSE OF FIRST-ORDER RC CIRCUIT UNDER SQUARE WAVE EXCITATION
Abstract：The time-domain responses of first-order RC circuit under square wave excitation exhibit various characteristics when circuit parameters change or circuit output variables are different.The time-domain response characteristics of integral circuit or differential circuit is shown when time constant of the circuit is much larger than or much less than square wave pulse width.The paper in detail discussed the RC circuit time-domain responses in the two cases.The changed regulations of the circuit outputs are also given.Then problems needing attention when doing the experiments of two circuits are discussed. At last some easily emerging errors were illuminated when students doing the experiments.
students
Keywords：first-order RC circuit square wave excitation integral circuit differential circuit time constant
1、引言
一阶电路是仅含有一个动态元件的电路，动态元件可以是线性电容元件或线性电感元件。分析包含一个动态元件的电路所列的电路方程为一阶微分方程，因此称为一阶电路。如果一阶电路中包含的动态元件为线性电容元件，则称为一阶RC电路，否则称为一阶RL电路。一阶RC电路和一阶RL电路为两个对偶电路。据对偶原理可知，两个互为对偶的电路通过对偶元素互换可从其中一种电路的分析结果得到另一种电路的分析结果，避免了对两种性质相似的电路进行复杂的电路分析过程。因此本文只对一阶RC电路在方波激励下的响应进行研究，一阶RL电路在方波激励下的响应可利用对偶原理根据一阶RC电路分析结果推导得出。一阶动态电路在方波激励下响应的求解是电路理论中一个较难理解的知识点，另外，作为最基本的一阶动态电路，RC电路在模拟电路、脉冲电路中具有广泛的应用，如：微分电路、积分电路、耦合电路、滤波电路及脉冲分压器等。因此本文主要对一阶RC电路在方波激励下响应的求解进行分析，并对一阶RC电路作为微分电路、积分电路时学生用示波器观察其输出波形时应该注意的问题进行了讨论。
2、一阶RC电路响应的分析
对一阶RC电路响应的分析可分段进行求解，下面结合图1所示电路进行介绍。在图1中，电压源us(t)是占空比为50%的脉冲信号，其中脉冲幅度为Us，2T是周期，则脉冲宽度为T，其波形如图2所示。图1中电容元件初始储能为零，即在t＜0时，uc(0-)=0V。下面分析t≥0时在外施激励为电压源us(t)时电容电压uc(t)及电阻电压uR(t)的变化规律。
图2 一阶RC电路输入波形
由图1可知，该电路的时间常数。根据时间常数与T之间的关系，该电路的响应需要分两种情况讨论。一种是T远远大于电路的时间常数时，另一种是T远远小于电路的时间常数时的情况。首先分析T远远大于电路的时间常数时的情况。
在0≤t≤T时，可认为是外施激励为直流电源的一阶RC电路的零状态响应。则利用三要素法可得
uc(t)=Us(1-)V(1)
由式（1）可知电容电压随时间从零值开始按指数规律上升趋向于Us，在t =4时，电容电压与其稳态值仅相差1.8%，工程上一般可认为已经充电完毕。因此，越小，电容充电所用的时间越少。由于T远远大于，可认为在t =T（第一个半周期末）时，电容电压早已经达到稳态值，即uc(T)=Us。
在T＜t≤2T区间可认为是外施激励为零的一阶RC电路的零输入响应。再利用三要素法可得
uc(t)=UsV(2)
之后，不断地重复上述过程，各周期的过程彼此无关。其中第k（0＜k）个周期电容电压变化规律如下
uc(t)=Us(1-)V，2(k-1)T＜t≤(2k-1)T(3)
uc(t)=UsV，(2k-1)T＜t≤2kT (4)
对电阻元件来说，其两端电压则反映了电容充电和放电过程中充电电流和放电电流的变化规律。其中第k个周期电阻电压变化规律如下
uR(t)=UsV，2(k-1)T＜t≤(2k-1)T(5)
uR(t)=-Us)V，(2k-1)T＜t≤2kT (6)
另一种情况是T远远小于电路的时间常数时的情况。在t =0时，电容开始充电，其两端电压从零开始按式(1)逐渐缓慢增长，但由于远远大于T，因此在t =T（第一个半周期末）时，电容电压还远远小于稳态值Us，之后在T＜t≤2T区间，外施激励变为零，电容元件又开始放电，其变化规律为uc(t)=Uc(T）V。在第二个周期时，又开始充电，之后不断重复此充放电过程。但由于电路的时间常数远远大于T，因此每次充放电的幅度特别小。用示波器观察电容电压输出波形，为标准的三角形。电阻两端电压的变化规律则接近于方波。
3、一阶RC电路实验
一阶RC电路在方波激励下的响应为综合与设计性实验，实验时所采用的的元器件包括信号发生器、可变电阻和可变电容。其中信号发生器用于产生方波，以给电路提供电源，方波的频率此处选为500Hz。方波的前沿相当于零状态响应，后沿相当于零输入响应。这样，此处就应该将信号发生器理解为一个能提供直流电源的设备，该设备在方波的前沿能提供直流电源Us（Us为大于零的常数），在方波的后沿相当于该直流电源不作用于电路，其所在电路部分用短路线代替，即电路为零输入响应。这表明信号发生器在实验过程中应该理解为一个直流电源，其正负极是不能接反的。实验所用电路图虽然都比较简单，但学生实验时的效果并不理想。主要原因是学生没有注意共地的问题。
3.1 微分电路实验
图3所示为进行微分电路实验时的正确接线图，电路输入为信号发生器产生的500Hz方波信号，输出为电阻元件两端电压uR(t)。其中示波器的正极应接在图3的a点，负极接在图3的b点。接线时，信号发生器的负极、电路输出uR(t)以及示波器的负极三者必须接于同一点，这样才能达到共地目的。学生在实验过程中的普遍错误是采用了图4所示的错误解法。其错误原因是没有达到信号发生器、电路输出uR(t)以及示波器三者的共地。
由图3可知，微分电路输出即电阻两端电压为
(7)
其中uC(t)按式（1）的规律变化（此处以第一周期为例）。但由于微分电路的必备条件是时间常数必须远远小于方波半周期T，因此在充放电期间uC(t)很快都接近于us(t)，这样可以得到
uC(t)≈us(t)(8)
将式（8）代入式（7）可得
(9)
式(9)表明，电路的输出uR(t)与输入的微分近似成正比，因此称其为微分电路。实验时通过图1观察输出uR(t)的波形可以发现为尖脉冲，且通过调节电路参数R或C的值可以得到不同陡峭程度的尖脉冲。随着时间常数=RC的逐渐减小，尖脉冲会更加尖锐。图5给出了图3所示微分电路不同时间常数时微分电路的输入、输出波形对比图。其中从粗实线到虚线再到细实线尖脉冲越来越尖锐，对应电路时间常数也逐渐减小。其中从粗实线到细实线尖脉冲越来越尖锐，对应电路时间常数也逐渐减小。图中细实线对应电路元件参数为C=0.1μF，R=500Ω，即=0.05ms；细虚线对应元件参数为C=0.1μF，R=700Ω，即=0.07ms；两条粗实线从左往右对应电阻元件参数分别为R=1000Ω及R=2000Ω，电容参数C=0.1μF。
3.2 积分电路实验
积分电路必须满足的条件是时间常数远远大于方波半周期T，且必须从电容两端取输出电压。图6给出了用示波器观察积分电路输出波形时正确的接线图。其中电路输入仍然为信号发生器产生的方波信号，输出则为电容元件两端电压uC(t)。接线时，信号发生器的负极、电路输出uC(t)以及示波器的负极三者也必须接于同一点以达到共地目的。学生犯的普遍错误是采用了图7所示的接线图，原因仍然是输入、输出及测试设备没有共地。
图6电路中电容两端电压为
由于该电路时间常数远远大于方波半周期T，因此在方波前沿，电容充电的幅度非常小，电阻电压近似与电源电压相等，即
即电路的输出与输入的积分近似成正比，因此称为积分电路。
通过示波器观察积分电路得到的输出波形如图8所示。其中Us=4V，即输入方波前沿幅度为4V。当C=1μF，R=10kΩ时，=10ms，示波器观察到的输出波形为三角形，三角形顶点幅值为0.1V，对应图8（b）中的小三角形；若调整电路参数使RC乘积逐渐减小，则三角波顶点幅值逐渐增大，增大到一定程度，观察到的就不再是三角波。图8（b）中电路输出为大三角形（顶点幅值为0.2V）时，所对应电路参数为C=0.1μF，R=10kΩ。
4、结语
RC电路是最基本的一阶动态电路，在模拟电路、脉冲电路中具有广泛的应用。其中的微分电路和积分电路是最常用的两种电路。基于电路要实现的功能不同，R和C的参数设置会有所不同，但其基本工作原理都是利用RC电路的暂态过程。本文对一阶RC电路在方波激励下的时域响应进行了详细的讨论，并对积分电路及微分电路应该满足的条件及实验过程中应该注意的问题进行了讨论。
参考文献
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