摘 要 文章简要叙述了十九世纪和二十世纪几何学的重要发展发展，总结其中的重要思想方法特点。结合几何发展的特点，指出其中的某些思想对于研究生数学教育的若干启示。
关键词 微分几何 代数几何 拓扑 指标理论
中图分类号：G643 文献标识码：A
The Development of Modern Geometry and Several Inspiration for the Graduate Students" mathematics Teaching
LI Ming
（School of Mathematics and Statistics， Chongqing University of Science and Technology， Chongqing， 400054）
Abstract Briefly describe the 19th and 20th century important development of geometry， and summarize the characteristics of the important thought method. Combined with the geometric characteristics， point out that some of these ideas are provided for the inspiration of graduates" education in mathematics.
Key words differential geometry； algebraic geometry； topology； index theory
0 引言
数学的发展历史蕴含了该学科的十分重要的思想方法。特别是十九世纪以来，数学得到了蓬勃的发展。这其中，几何学的发展尤为显著，发展方式和思想方法具有一定的代表性。
当前国内数学研究生的教育方面，有若干基本的困难。首先是学生学习兴趣缺失，学习动力不足；其次是部分学生对于数学的了解不足，认为数学仅仅是在大学阶段所学知识的简单推广，对数学理解较为狭隘；而另一部分学生的学习方法特别是思想方法方面有一定的局限性。
结合研究生教学的具体工作特点，在适当的时候介绍数学发展的关键时期形成的思想方法和数学中的重要问题对于解决上述问题有一定的帮助。
1 十九世纪的几何学
十九世纪前半叶是几何学的复兴时期。从坐标几何出发，不使用微积分方法，直接研究几何对象，导致了代数几何的建立。这一时期，几何学家重视发现普遍原理，以及各种原理的广泛联系。这种思想贯穿了几何学今后的发展，可以认为是数学的二次抽象。
这个时期几何学所蕴含的思想，对于一般的数学工作者都有指导作用。特别对于有志于从事数学研究的学生，通过观察几何学在低靡时期的发展，一方面可锻炼数学思维能力，另一方面可培养其在研究工作上坚韧的态度。
十九世纪后半叶，几何学在其自身的各个分支都有重大突破。
1.1 非欧几何与Erlanger纲领
这些工作可以说是在几何学最早的两种思想的指导下，几何的新发展。一是《几何原本》中的逻辑推理，另外就是射影几何产生的变换思想和不变量的观点。
Gauss，Lobatchevsky和Bolyai给出了不需要《几何原本》中第五公设的独立的几何体现。Klain的Erlanger纲领则将综合几何的研究抽象为某种变换群作用下不变量的研究。当变换群有不同的代数结构时，则产生相应的几何学，这中间就包括了Euclid几何，射影几何和非欧几何。
1.2 微分几何的独立
微积分产生后的微分几何仅仅是微积分的应用，没有独立的涵义。Gauss的曲面论建立了曲面的第一基本形式的几何，即内蕴几何。这代表着微分几何有着独立的意义。Riemann随后将该理论推广到高维空间，并给出了Riemann曲率的概念，这就是Riemann几何。
Gauss和Riemann的工作对于数学研究有非常重要的启示。Gauss的曲面论是在其主持天文台时期做大地测量时建立的。可认为是应用数学成功的典范，可作为大学数学建模课程的典型案例。对于引导学生养成在解决实际问题时建立抽象数学理论的习惯。Riemann的工作则是在数学上的进一步发展，其中包含了大量的计算。Riemann的工作表明数学上的重大发展除了思想正确外，是建立在辛勤工作的基础之上的。
1.3 代数几何纷繁复杂
这一时期代数几何发展集中在研究代数不变量和双有理变换。代数几何呈现出方法众多，语言差异很大的面貌，使得不同方法的使用者之间难易交流。但正是这种特点反映出代数几何的重要性，并暗示着其在数学中的主导地位。
1.4 组合拓扑学
从17世纪Euler关于闭凸多面体的Euler公式起，到Mobius关于闭曲面的分类工作，直至Riemann在复分析中关于Riemann面的工作，为组合拓扑学的发展奠定了基础。Poincare的位置分析是对上述工作的系统发展，奠定了拓扑学的基本研究方向：同调论和同伦论。他的思想决定了20世纪拓扑学的发展方向。
这段时期是形成不同数学分支及不同数学方法的重要阶段，我们目前所知的主要数学分支均在这个时期形成。这表明数学研究专门化的必要性。数学研究的这种特点对于研究生的教学有一定的指导作用。数学的各个方向的研究生必须熟练掌握本方向的基本概念，理论和方法，学生才能学有所得，并在数学上有所贡献。
2 二十世纪前半叶几何学的极大发展
这一阶段各几何分支自身有充分的发展，并且出现了相互之间的融合。
2.1 微分几何的大发展
微分几何的重要发展首先是E. Cartan的工作，其建立的纤维丛上的联络理论成为微分几何基础，其建立的外微分理论一方面是研究微分几何的基本工具，另外也是建立微分流形的de Rham理论的基本概念。陈省身作为E. Cartan的学生完善了纤维丛的联络理论，其建立的示性类理论是几何学发展的里程碑式的工作。该示性类理论称为Chern-Weil理论，是建立流形局部几何性质与整体的拓扑性质关联的基本理论，成为几何学的基本语言。
2.2 代数几何的统一
20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代，Zariski和V.D.Waerden等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上，Weil在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后20世纪50年代中期，法国数学家Serre把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这为Grothendieck随后建立概型理论奠定了基础。概型理论的建立使代数几何得研究进入了一个全新的阶段。这期间的突出结果是Weil证明的“有限域上的曲线的Riemann猜想”，以及Riemann-Rochester-Hirzebruch定理的推广。
2.3 拓扑学成为主导
拓扑学的发展在20世纪时最显著的，并且对于所有的其他数学分支产生了巨大影响。一方面是拓扑学研究的对象非常丰富，包括了拓扑流形、分段线性流形与微分流形等，各自有着自己特有的方法。其中的同调论和K-理成为对其他分支影响极大的方法。而拓扑学的结果则大大扩充了人们对几何的认识，可以特别指出的是微分结构与拓扑结构的独立性。
2.4 分析学的发展以及几何思想方法的渗透
首先是常微分方程的几何理论，由Poincare开创的定性理论被Liapounov、Birkhoff等人所发展，最终由Arnold和拓扑学家Smale发展了微分流形上的动力系统理论。
偏微分方程的一般理论也为拓扑学的概念所控制，其中完全可积微分方程组的积分流形称为叶状结构，叶状结构的大范围理论为Reeb、Haefliger、Novikov、Thurston等人所发展，最终导致了对三维流形的根本认识。
处理分析中出现的对象时，自然产生的便是函数空间，函数空间的理论和积分理论的发展导致了泛函分析和测度论的产生。泛函分析的理论部分实际上是线性空间与拓扑空间结合的产物，而维数是无限的。这个理论为微分方程提供了理论框架，也促进了线性微分方程的发展，这对于泛函分析语言和工具是必须的。
测度论最开始只是积分理论的一个产物，表面上来看它只是处理病态集合的一个方法。然而分形几何则完全建立在测度论的基础之上，虽然分形几何处理的对象还是病态的，但其在经典数学的范围之内很多地方分形几何已经成为必要的部分。
这段时间几何学各个分支发展的一个首要特点是多种方法的综合应用。在研究生教育过程中，这是特别需要重视的地方。在将所研究的分支中的基本方法熟练掌握后，应当尽量扩展视野，学习相关的其他理论方法，并加以应用。
3 二十世纪后半叶数学的融合与统一
当前数学无论在方法上还是在内容都呈现出融合的趋势。本文只指出其中两个方面。关于整个20世纪的数学，参考Atiyah。
3.1 Atiyah-Singer指标定理
当分析发生在流形上，成为了几何分析和大范围分析。在流形上考虑微分算子的思想可以看成是大范围分析的起点，Hodge的工作突出了这种观点对于研究流形拓扑的用处，Atiyah-Singer指标定理将其大大深化，被公认为是20世纪最重要的数学成就之一。它的大意是说：对一个封闭流形上的一类微分算子（称为线性椭圆微分算子），可以定义两个整数：一个是用分析方法定义的，称为分析指标；另一个是用拓扑方法定义的，称为拓扑指标。在这个情形下，Atiyah-Singer指标定理可以叙述为：“对任何一个线性椭圆微分算子D，有公式：D的分析指标=D的拓扑指标。”
从这个定理的字面上就可以有大致的了解，本质上它在数学的两大领域——分析与拓扑之间建立了一座内在的桥梁。像这样的将两个看似无关的领域紧密结合起来的结果，其重要性及应用的广泛性是显而易见的。从另外一个角度讲，“D的分析指标”是通过分析的方法决定的一个“整体”不变量，而“D的拓扑指标”经由Chern-Weil理论可以有一个局部的表达式。这样上述的公式就可以有另外一种更抽象同时也更具有哲学意味的形式：“整体=局部的叠加”。这里尽管“局部”的量可以任意变化，但是通过“叠加”（积分）后得到的整体量却是固定不变的！
如此优美并显然有重要意义的定理在数学中的地位自然举足轻重。例如它就包含了当时微分几何学、拓扑学以及代数几何学中的诸多大定理如Gauss-Bonnet-Chern定理、Hirzebruch符号差定理、Riemann-Roch-Hirzebruch定理等等为其特例。
3.2 Connes的非交换几何
另外的一个重要的工作便是有Connes创造的非交换几何。非交换几何产生的动力来自Grothendieck对代数几何的工作、Connes在算子代数方面的工作、以及在这之前研究算子代数时得到的代数-几何相互决定的经典理论，如Gelfand-Naimark定理。Connes的非交换几何一经产生（下转第59页）（上接第42页）便表现出不平常的适应性和生命力，很多经典的概念都有了非交换几何框架下的表述，而很多经典几何中无法有效研究的对象在这里有了很自然的研究方法。它融合了分析、代数、几何、拓扑、物理、数论，所有这一切都是它的一部分。这是一个框架性理论，它能够让我们在非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系。要求这样做是有很好的理由的，因为它在数论、几何、离散群以及物理等方面中都有应用。
4 总结
从几何学的整个历程可以看出，几何学不断地发展着新的内容和方法，这些内容本身是有重要意义的，而发展出来的方法和思想则不只局限在几何本身，而且给别的分支提供了新的研究方法。更为重要的是以几何学为代表的“直观”，渗透在数学的各个方面，成为数学进步的内在动力。几何观念培养对于大学数学教育是基本的内容，将几何学历史发展各个时期体现的重要几何和数学思想融合到教学过程中，对于数学教学工作大有裨益。
参考文献
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