让不可见变成可见
我们已经利用“数学是模式的科学”这一口号来回答“何谓数学？”这一疑问。有关数学，还有另一个根本的问题，能以一个吸引人的短语来回答：“数学作什么用？”我的意思是说，当你应用数学来研究某些现象时，数学真正带给你的是什么？这一问题的答案是，“数学让不可见变成可见”。
接下来，请允许我举一些例子，以便说明我这个答案的意义。
要是没有数学，你将无从理解，是什么东西让一架巨型喷气式飞机浮在空气中。正如我们都知道的，大型金属物体如果没有东西支撑，根本无法停留在空中。但是，当你注视一架喷气式客机飞过你的头顶时，你看不到任何支撑物。是数学让我们“看到”令飞机飘浮高处的是什么。在本例中，让你“看到”那些不可见的支撑物的，是一个在18世纪早期被数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）发现的方程式。
当我正在讨论飞行主题时，是什么原因促使飞行器以外的物体一被我们松开便坠地？你回答：“是重力。”然而这只不过是给它一个名字，这无助于我们理解它。它仍然是不可见的。我们也可以称它是一种“魔术”。为了理解重力，你必须“看到”它。那正是牛顿在17世纪利用他的运动和力学方程式所做的事。牛顿的数学帮助我们“看到”那些让地球绕着太阳旋转，以及造成苹果从树上坠地的不可见之力。
伯努利方程式与牛顿方程式这两者都使用了微积分。微积分之所以行得通，乃是因为它让无穷小量（the infinitely small）变为可见。而那是让不可见变成可见的另一个例子。此处还有一个例子：在我们能够将太空飞行器送往外层空间的两千年前，希腊数学家伊拉托斯蒂尼（Eratosthenes）使用数学证明地球是圆的。事实上，他计算地球的直径，从而计算它的曲率，精确度高达99%。
而今，经由发现宇宙是否弯曲，我们算是得以重复伊拉托斯蒂尼的功绩了。使用数学与威力强大的望远镜，我们可以“看到”宇宙的外层空间。根据一些天文学家的研究成果，我们将可以看得够远，甚至可以侦测空间的任何曲率，并且度量我们所发现的任何曲率。
只要获知空间曲率，我们就可以使用数学看到未来宇宙终结的那一天。使用数学，我们已经可以看到遥远的过去，将宇宙在所谓大爆炸的开天辟地那不可见的瞬间，变成可以见得到。
回到此刻的地球，你又如何“看到”： 究竟是什么使得一场美式足球的图像与声响，奇迹似的同步出现在与比赛场地一镇之隔的电视屏幕上？一个答案是，这些影像与声响是由无线电波——我们称之为电磁辐射的特例——所传递。不过，就像重力的例子一样，那个答案只是给这个现象一个名字，它并不能帮助我们“看到”它。为了“看到”无线电波，你必须使用数学。19世纪所发现的麦克斯韦方程组（Maxwell’s equations），让那些无此便不可见的无线电波，变得可以让我们见到。
在此，有一些我们可以经由数学“看到”的人为模式：
●亚里士多德企图使用数学去“看”我们认定为音乐的不可见的声音模式。
●他还试图使用数学描述一出戏剧表演的不可见结构。
●在20世纪50年代，语言学家诺姆·乔姆斯基（Noam Chomsky）使用数学去“看”并描述我们认定为文法语句的不可见的、抽象的文本模式。于是，他将语言学从人类学一个相当晦涩的分支，转变成为一门蓬勃发展的数理科学。
最后，使用数学，我们可以展望未来：
●概率论与数理统计学让我们预测选举的结果，且往往有着出色的准确率。
●我们使用微积分预测明日的天气。
●市场分析师企图使用各种数学理论预测股票市场的行为。
●保险公司使用统计学与概率论去预测来年一场事故发生的可能性，从而据以设定他们的保费。
当时代引领我们展望未来时，数学允许我们将另外一些不可见——亦即尚未发生之事——变为可见。当然，我们的视界并不完美，我们的预测失准在所难免，不过，要是没有数学，我们甚至连差劲地展望未来都不可能。
栏目主持人：黄灵 yeshzhwu@foxmail.com
