【摘要】线性规划在生产管理和经营活动中起到重大作用。在给出线性规划模型的基础上，通过实例，介绍建立线性规划模型的一般方法，并应用软件Mathematica进行求解，进而为决策者提供最优的决策。
【关键词】线性规划；模型；Mathematica；最优决策
1.引言
在生产管理和经营活动中，会经常遇到两类问题：一类是（资源有限）如何合理的使用现有的劳动力、设备、资金等资源，以得到最大的效益；另一类是（目标一定）为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原材料等）为最少。这既是最优决策问题。
如何解决上述问题，线性规划（Linear Programming）给了我们一些方法，线性规划是运筹学的一个分支，它研究的是在线性约束条件下求解线性函数（目标函数）的最优解问题。线性规划应用越来越广泛，《财富》杂志（Fortune）的一项调查，美国名列前五百名的大公司中，百分八十五均曾应用线性规划的方法来协助公司的营运，由此可见线性规划应用面的宽广与普及。
2.线性规划数学模型及求解方法[1]
2.1 线性规划数学模型
其中为目标函数，s.t.的右端项为约束条件，表示决策变量的非负约束。
2.2 模型的求解方法
能够求解线性规划模型的软件有很多，比如Mathematica，Matlab，Lindo，Maple等，以下问题应用Mathematica求解[2]。
Mathematica是由Wolfram（美国）公司研制开发的，应用比较广泛的，功能比较强大的一款软件，软件中有求解线性规划的函数，在平台中的使用方法如下：ConstrainedMin（或ConstrainedMax）[目标函数，{约束条件}，{变量集合}]就可以了。其中ConstrainedMin求目标函数为min的线性规划问题，ConstrainedMax求目标函数为max的线性规划问题。
3.建立线性规划模型应用举例
例1：（人员的合理安排问题）医院护士的值班班次、工作时间及各班所需护士数如表1所示，护士上班以后，需连续工作8小时，则医院最少需护士多少名，以满足轮班需要；
分析：因护士上班后需要连续工作8小时，即第1班次开始上班的护士，需工作到14：00，第2班次开始上班的护士需工作到18：00，以此类推，第6班次开始上班的护士工作到10：00，满足这些约束条件后，目标函数是最少需要的护士数，就很容易列出线性规划模型。
解：设表示第i班开始上班的护士人数，，则建立模型为：
应用mathematica求解如下：
In[1]：=ConstrainedMin[x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6，{x1 + x2 >= 70，x2 + x3 >= 60，x3 + x4 >= 50，x4 + x5 >= 20，x5 + x6 >= 30，x6 + x1 >= 60}，{x1，x2，x3，x4，x5，x6}]
运行后得：
Out[1]= {150，{x1 -> 60，x2 -> 10，x3 -> 50，x4 -> 0，x5 -> 20，x6 -> 10}}
结果：第1-6班开始上班的护士分别为60人、10人、50人、0人、20人、10人，最少需要护士150名。
例2：（投资决策问题）某人有一笔30万元的资金，在今后三年内有以下投资项目：
（1）三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资；
（2）只允许第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；
（3）于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类投资限额20万元；
（4）于三年内的第三年初允许投资，一年收回，可获利40%，投资限额为10万元。
试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。
分析：本题为最大化最优决策问题，有4个可投资项目，即题中（1）至（4），关键问题在于决策变量的设置，我们用来表示第年初投资到第个项目的资金数，这样问题就迎刃而解了。
解：设表示第年初投资到第个项目的资金数，建立线性规划模型为：
应用mathematica求解如下：
In[2]：=ConstrainedMax[1.2x31 + 1.6x23 + 1.4x34，{x11 + x12 == 300000，x21 + x23 == 1.2x11，x31 + x34 == 1.2x21 + 1.5x12，x12 <= 150000，x23 <= 200000， x34 <= 100000}，{x11，x12，x21，x23，x31，x34}]
Out[2]= {580000.，{x11 -> 166667.，x12 -> 133333.，x21 -> 0，x23 -> 200000.，x31 -> 100000.，x34 -> 100000.}}
结果：
第一年年初投资到（1）和（2）两个项目的资金分别为166667元和133333元；
第二年年初投资到（1）和（3）两个项目的资金分别为0元和200000元；
第三年年初投资到（1）和（4）两个项目的资金分别为100000元和100000元；
第三年末本利和最大为58万元。
例3：（学区学生入学的划分）某学区由五个居民区和三所学校组成，学校设专门校车接送学生。各学校的容量如表2所示，各居民区的学生人数如表3所示；各居民区的学生到相应学校的校车费用如表4所示。试问应怎样给各个学校分配儿童，才能实现学区管理者实现使校车接送所花费用最低的目的？[3]
分析：该问题为最低费用的最优决策问题，在满足人数要求的条件下，费用最低，三所学校的容量总和为2500人，而五个居民区共2350人，这就使得某些学校分配的儿童不足，对于约束条件将出现不等式，建立线性规划模型时要注意。
解：设表示校车从第居民区送往第学校的人数，建立模型如下：
4.小结
由以上分析，我们可以看出，线性规划在最优决策中为人们提供了解决问题的一种方法。决策者通过建立便捷的线性规划模型解决了最优化问题，无论是对于企业还是对于个人提升都具有重要的价值。
参考文献
[1]胡运权.运筹学教程（第三版）[M].清华大学出版社，2007，4.
[2]丁大正.科学计算强档Mathematica4教程[M].北京：电子工业出版社，2002.3.
[3]刘茂华.线性规划在运输问题中的应用[J].大庆师范学院学报，2007，4.
作者简介：郭志军（1978—），男，辽宁新民人，硕士，辽宁对外经贸学院副教授，研究方向：应用数学。
