概率生成函数的简单应用

学习和研究对特征函数的深入理解和掌握有着很明显的现实意义。

1 匹配问题

匹配问题是关于把物体随机放入容器中这类问题中最简单的一种情形。现在我们将匹配问题一般化，这样更容易从本质上加深对问题的理解。

这样我们就比较容易地得到了这个公式，当然，也可 以用其他方法得到这个结论，但是论证过程可能相对复杂一些。

2 苍鹭捕鱼问题

小林老师应邻居的请求在他们度假不在家的时候帮助喂养在花园池塘里的金鱼。尽管小林老师每天都按要求去喂养金鱼，但是三星期来没有看到过一条金鱼。结果发现池塘里所有的金鱼都被一只苍鹭在邻居不在的时候偷偷吃掉了，而苍鹭吃鱼的时候一次也没被发现。

用N表示邻居不在时苍鹭访问池塘的次数，假设N服从参数为1-θ的几何分布，于是

3 结 论

概率生成函数作为一个工具，确实有着广泛的应用，它可以很好地起到一个桥梁的作用，连接离散与连续的关系。它是采用变换思想解决实际问题的一种具体方法，它将非负整数值随机变量的概率分布描述成一个幂级数或其和函数，即概率生成函数，然后利用概率生成函数的性质间接求解概率问题。从文中的实例可以看到概率生成函数在求解某些类型的问题时具有比较巧妙的作用，可以使我们在解决概率问题时陷入烦琐的计算当中。在教学过程中，可以通过类似问题的讲解来激发学生的学习兴趣和学习热情。

参考文献：

[1]陈家鼎，郑忠国.概率与统计[M].北京：北京大学出版社，2007.

[2]李贤平.概率论基础[M].北京：高等教育出版社，1997.

[3]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.

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