[摘 要] MPCK是数学学科知识（MK）、教学法知识（PK）和学生学习相关知识（CK）三者的交集与整合，是数学教师有效设计和实施“综合与实践”所需要的必备知识。教师结合具体教学需求和实际情境，对MPCK的有效整合、加工和转化，是提高教学效率和教学质量的核心和关键。
[关键词] MPCK；小学数学；综合与实践
根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》，小学数学“综合与实践”活动是以数学问题为引领、以学生全程自主参与为主、数学实践过程相对完整的学习活动。活动的目标是“培养学生综合运用有关知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。”
基于课标精神，小学数学教师对“综合与实践”活动的设计和组织实施都与常规的课堂教学不同，更侧重对学生综合应用数学知识和方法去解决数学问题的引导与指导：在内容上，关注的是“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等数学知识和方法的综合及实际应用，不是对个别具体数学知识点的聚焦和探索；在方法上，重在问题引领和指导实践，不是仅在课堂上的直接讲授；在环节上，一般包括选题、活动实施、活动结果展示与评价等多个环节，是一个相对完整的学习活动，不是简单的问题思考及回答；在活动时长上，根据选题与活动实施阶段设计，用时短的活动可能在课堂教学过程中就可以完成，用时长的可能需要延续一个学期。
因此，小学数学“综合与实践”的有效落实，对小学数学教师的专业知识储备及综合应用能力都提出了较高的要求，这就涉及到数学教师MPCK的有效发挥。本文结合实例，简要分析MPCK视角下的小学数学“综合与实践”教学和指导。
一、MPCK的含义及结构
国内外不同学者从不同角度对MPCK进行了定义和阐释，综合多种观点，可以认为，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）是数学学科教学知识的简称，具体包括三类知识，即：数学学科知识（Mathematics Knowledge，简称MK），一般教学法知识（Pedagogical Knowledge，简称PK），学生学习相关知识（Content Knowledge ，简称CK），MK、PK、CK三者的交集与整合就是MPCK。随着数学教师的不断学习和经验积累，其所具备的MK、PK、CK知识会逐渐增多和丰富，相应的，其所具备的MPCK知识也会随着增加和丰富。如图所示：
MPCK是数学教师有效设计和实施“综合与实践”所需要的必备知识，在教学实践过程中，需要结合具体的教学需求和实际情境进行整合、加工和转化。
二、MPCK视角下的“综合与实践”活动设计
小学数学“综合与实践”活动方案的有效设计，是顺利组织实施的基本前提。
教师在进行活动设计时，首先需要调动MK知识，对小学阶段需要学生掌握的数学知识体系和结构、各个数学知识之间的联系和最佳学习顺序等有准确的把握；其次调动MCK知识，对学生的年龄特征、认知特点、已学数学知识、已有生活经验等进行分析和准确把握；再运用PK知识分析“综合与实践”活动的教学和指导可以采用的有效策略和方法。
在此基础上，教师再充分发挥MPCK的核心作用，综合PCK、MPK、MCK知识，选择需要学生掌握或学会应用的、在学生“最近发展区”之内的数学知识，设计最适宜的学习目标，结合本地生活实际进行思考和研制，将数学知识转化为学生可以接受和理解的“综合与实践”数学问题，设计合理的活动环节，形成学生可以采取的解决问题路径的基本假设，并搭建有助于解决问题的必要“通道”或“桥梁”，以及可以促进学生自主参与和有效合作的活动环节等。需要注意的是，教师在设计问题时，不但要考虑多个数学知识之间的联系和综合应用，还要考虑数学学科与其他学科之间、与实际生活之间的联系。
例如，教师有效运用MPCK知识，在分析基本学情和小学数学知识体系之后，结合教学目标，将数学计量、基本计算、数据统计、比例计算等数学知识的综合应用与《品德与生活》的课程内容进行整合思考和设计，再结合常见的“用水浪费”生活现象，形成主題为《节约用水》的小学六年级数学“综合与实践”活动方案。所涉及的方案中，包括以MCK和PCK知识为主而做出的学情分析，以MCK和MPK知识为主而设计的教学目标，以PCK和MCK知识为主而设计的教学重点和难点分析，以及基于MPCK知识而设计的课前准备、教学导入、教学情境设计、活动组织流程设计等。如，活动第一阶段“观察、调查和测量”，包括“通过网络查找了解我国的水资源情况，以及缺水干旱地区及当地人民的生活状态”“观察学校中浪费水的现象，并记录下来”“调查生活中还有哪些浪费水的现象或行为，并记录下来”“调查学校中有多少个水龙头漏水，并用量杯测量单位时间内的流水量”“测量班级里的水桶可以装多少升水”“全班同学喝水杯子里要倒掉的洁净水全部倒入水桶，每日测量当天本班同学浪费的水量”等；活动第二阶段“总结、计算和统计”，包括“总结我国的水资源情况（总量、湖泊水量、降雨量等）”“总结学校中和日常生活中浪费水的行为有哪些”“根据测量数据，计算学校水龙头因漏水而浪费掉的水的总量（一小时、一天、一月、一年）”“根据测量数据，计算全班同学仅从倒剩水浪费的水量（一天、一月、一年）”等。
三、MPCK视角下的“综合与实践”活动指导
小学数学“综合与实践”活动实施的效果是否理想，教师自身MPCK知识作用的发挥可谓是关键因素。
首先是问题发现与分析环节。教师需要应用MPK知识和CK知识，引导学生从融入了数学综合知识的实际生活现象中发现问题，结合已学的数学知识去思考，尝试把生活问题归纳为数学问题，再进一步寻找解决问题的方法或路径，选择可以与自己一起共同解决问题的合作伙伴，共同设计解决问题的方案，并判断方案落实的可操作性和必需的人力或物力支持。
其次是问题解决环节。教师需要首先调动MPK和MCK知识并有效转化，引导学生快速进入“小研究者”的角色，激发学生自主自觉参与活动的积极性，促进学生之间的团结合作；再将MPCK知识转化为教学知识和教学策略，将“综合与实践”的教学任务转化为学生可以真实获得数学能力的实践过程，对学生的探索过程进行合理、有效的指导，最终落实教学目标，促进学生数学活动经验的积累，实现对学生数学知识应用意识和应用能力的培养。应用MPCK所转化的“综合与实践”教学指导，包括：引导学生明确解决问题的探索路径和方法；选择和提供有利于促进学生理解问题的最佳表达与互动交流方式；准确判断学生对问题的看法及遇到的困难，有针对性地帮助学生解除疑惑、解决探索路径中的障碍；基于CK的认知图式，实现教学过程中以促进学生有效学习为目标的MPCK二次转化，化解学习难点，促进知识理解等。
例如，组织《参观动物园》数学“综合与实践”活动，教师可以充分调动MPCK知识，转化成学生可以理解的含有数学问题的生活情境，引导学生不断进行思考和探索，如“全班33人，加上教师2人，一起坐大巴到动物园，一辆大巴能载18个人，需要预约几辆大巴车？”“从学校到动物园约15公里，大巴车一小时可以走40公里，我们上午7点准时出发的话，几点能到动物园？”“动物园的门票总价是50元一张，学生半价，每位同学应该带门票钱多少元？这次到动物园全班买票总共需要多少钱？”在这些情境中，教师应用MPK和MCK知识，引导学生快速进入“小当家”的角色，并在学生思考、讨论和计算的过程中，充分发挥MPCK的作用，引导学生找到解决问题时需要应用的数学计算知识（MK知识为主），帮助学生解除困惑并完成相应的数学计算（MPK和MCK知识为主），培养学生的数学知识应用意识和应用能力。在进入动物园后，教师充分利用MPK知识，激发学生的求知欲望，鼓励学生用文字或照片的形式记录下一些动物的身高、体重、奔跑速度等基本数据信息，在集体休息时间玩游戏，再次调动MPCK知识，引导学生给动物的身高、体重、奔跑速度等进行排队，并进行动物体重的加减计算和比较，从而实现学生对数的加减和大小比较的练习。
四、MPCK视角下的“综合与实践”活动评价
小学数学“综合与实践”活动的合理恰当、对学生真正有促进作用的教学评价，需要是过程性评价与总结性评价相结合的综合评价，但要以过程性评价为主，这也是需要教师充分调动MPCK知识并有效转化的。
小学数学“综合与实践”活动是一个相对完整的对数学问题探索和解决的过程，教师在过程中的引导、指导和及时的反馈评价十分重要，因此，在活动过程中易于采用过程性评价，并且灵活运用语言激励、肢体鼓励、引导指正、量化计分、成果评优多种有效的评价方式。教师需要基于MPK的过程性评价知识，确定在此项活动过程中需要评价的指标和维度，并不断观察、思考和判断，结合PKC知识，对学生的阶段性进步和成果给予及时肯定，促进学生的进一步探索学习；发现学生问题时则有效转化MPCK知识，选取最佳的语言和方式，对学生进行及时的引导和纠正；对于学生合作过程中出现的情绪问题，则可以及时调用MCK和MPK知识，对学生进行有效的梳理和引导。
对于学生的实践活动成果，教师需要运用MPCK知识，思考通过成果可以实现的教学目标，以及最佳的成果呈现方式、成果分享活动组织流程等。在成果分享活动环节中，教师有效运用MPCK知识，尤其是MPK知识，用恰当的组织形式和语言引导、评价反馈，不但让学生体会到自己成果的价值，获得成功的喜悦，还让学生有效观察和体会其他同学的学习成果，从同学的介绍中学习更多的解决数学问题的思路、方法和策略，学习大家面对数学问题迎難而上、坚持到底的精神。对于学生成果中体现出来的对数学知识的理解不足、综合应用能力欠佳、解题思路不清晰等问题，教师有效转化MPCK知识，进一步地讲解、指导和强化，确保活动的有效性，提高教学实效性。
例如，教师完成《折线统计图》教学之后，调动MPCK知识，充分分析学生对已学统计知识“统计表”和“条形统计图”等的掌握情况，以综合复习统计知识为目标，设计并组织《一周天气》的“综合与实践”活动，包括“一周天气调查与统计（温度、阴晴、风情）”“一周天气统计表”“一周天气情况播报（条形统计图、折线统计图、文字总结）”几个实践环节。相应的活动评价，教师充分发挥PK知识中的评价知识，并有效转化PCK和MCK知识，首先针对每个环节的教学目标制定具有可操作性的评价表，明确评价的维度、指标和打分标准，采取组内评价、组间评价和教师评价的综合方式进行，如“折线统计图”实践环节的评价表包括人员及分工、完成绘图的时长、有无查看条形统计图的教材知识或学习资料、绘图过程中小组成员讨论的主要问题、存在的困难及解决方法、绘图结果是否正确、错误之处有什么、如何纠错等，统计表由学生填写完成，教师则在学生小组自评和互评、活动过程中观察和判断的基础上，充分调动和转化MPCK知识，对学生的掌握和应用情况快速总结与分析，梳理出学生存在的主要困惑和核心问题，再逐一讲解指导，重点突破。在学生实践过程中，教师适时介入，进行必要的评价反馈，及时肯定、激励或指正、纠偏，启发智慧，激活思维，鼓励学生积极、自主地思考、分析、讨论和探索。
综上所述，小学数学教师需要通过不断学习和研究去完善自身的MPCK，学会分析MPCK教学实践案例，建构自身的最佳MPCK结构，并用MPCK的视角去思考和设计“综合与实践”活动教学，在自身的实践和反思中不断提高个人的专业能力，充分发挥MPCK在小学数学教学中的核心应用价值，进而促进自身的专业发展，提高教学效率和教学质量。
[参 考 文 献]
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（责任编辑：李雪虹）
