摘要： 本文论述了在高职微分方程的教学中融入数学建模的思想，通过分析高职学生的数学学习现状，提出了在常微分方程教学中渗透数学建模思想的意义及方法以及常微分方程在数学建模中的应用，使学生能体会应用数学知识解决实际问题的乐趣，全面提高学生的数学素质，达到实现教学改革的目标。
Abstract： This paper discussed the thought of introducing mathematical modeling to higher vocational differential equation teaching， through the analysis of the present situation of higher vocational students" mathematics study， proposed the significance and method of introducing mathematical modeling to ordinary differential equation teaching and its application of ordinary differential equations in mathematical modeling， to enable students to experience the fun of applying mathematical knowledge solving practical problems， improve student"s mathematics quality， and achieve the goal of teaching reform.
关键词： 高职；常微分方程；数学建模；应用
Key words： higher vocational；ordinary differential equation；mathematical modeling；application
中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）24-0222-02
1 微分方程产生的背景
微分方程作为数学领域的中心学科至今已有近300年的发展历史。1676年詹姆士·贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科。微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世界的重要工具。1846年，数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现了一颗有名的新星——海王星。1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例还有很多。微分方程在物理学、工程学、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域都有重要作用。
2 数学建模及思想
科技的突飞猛进和社会的快速发展要求相关工作人员灵活运用数学思维方式来解决各行业各学科涌现出的大量的实际问题，从而取得更大的社会和经济效益。数学模型（Mathematical Model）是将实际问题转化成相关的数学问题，即研究分析复杂的问题并发现其中的关系和内在规律，进而用数学语言来表达。数学建模（Mathematical Modeling）是建立数学模型的一个过程，它将数学和实际问题结合起来，成为数学在相关领域被广泛应用的媒介。微分方程模型是数学建模中众多方法中的一种重要方法，其成为有效解决很多实际问题的一种数学手段。
常微分方程具有背景广、实际应用性强的特点，当前已经受到广泛关注。数学应该应用到大量的实际问题中这一观点已经在国内外新版教材中明确强调，并且编入了实际应用的例子。从而引导学生利用常微分方程来解决各种实际问题。将数学建模思想融入到教材和教学中，既可以让学生更深层次的领悟数学建模的方法和思想，又可以着重培养学生的应用数学的能力和数学思维方法，从而改变单纯地强调知识技能的教学方法。这意味着教学工作者正在逐步转变教学思想观念，是时代进步的标志。
3 高职学生数学学习现状分析
目前部分学生普遍认为大学数学属于枯燥的理论研究，通过套公式，记公式来应付考试，而没有实际的用处，造成学生对于大学数学的学习积极性不高，以及养成不良的学习习惯。同时我院的数学教学课时少（微分方程此章在教学计划中为12课时），任务又较重，造成学生学习数学的压力。因此，我们高职教师面临的重要任务是注重数学教学的方法和思想，帮助学生培养良好的数学学习习惯和学习方式，增强学生的对数学学习的自信心。
4 在常微分方程教学中渗透数学建模思想的意义及方法
常微分方程是高等数学教学内容中很重要的一部分，因为它的应用广泛，和专业课紧密联系，同时也是数学建模中处理问题的重要方法之一。在传统的教学模式下，学生在学习常微分方程这部分内容时只知道怎么解题，却不知道有什么用处，缺乏学习的动力和兴趣。很显然这样的教学模式已不适应现代社会发展的需求了。因此，全国高等院校数学课程指导委员会提出，“要加强对学生建立数学模型并利用计算机分析处理实际问题能力的培养与训练”，这说明学生需要将常微分方程，计算机等知识应用于实践，并且通过常微分方程与数学建模的有效结合来解决实际问题，在常微分方程中渗透了建模思想。
用微分方程解决问题有如下几个步骤：①提出实际问题；②根据实际问题列出微分方程，建立数学模型；③对方程进行更深层次的分析或者直接解微分方程；④分析微分方程的解来预测实际问题的发展趋势，即依据数学语言来解释实际现象或者预测实际问题。用数学语言如何阐述实际问题，如何合理假设，依据何种原理来建立微分方程，这些问题在教学讲解分析常微分方程模型时需要着重强调，适当可以利用一些数学软件。目前，我们可以通过建立微分方程模型来研究方程的解以及曲线随自变量的变化情况，逐步改变原有的只注重解题方法的关于微分方程的教学模式。用初等方法难以求出方程的解析解，这是因为模型是由复杂的方程和方程组构成。在此利用一些数学软件（Matlab，Mathematica）来求数值解并作数值模拟，从而可以提高学生灵活运用数学软件去研究和探索实际问题的能力，激发了学生的学习兴趣。
5 常微分方程在数学建模中的应用
本着“面向社会，服务专业”的精神。为了提高高职数学教学实效，提高学生学习数学的积极性，感受数学工具的价值，在建立常微分方程过程中，教师应注意数学建模思想的渗透。依据不同专业，选择和专业相关的案例。
为了调动学生学习的积极性，教师应该让学生用微分方程探索解决日常生活中遇到的问题。如利用微分方程探求凶杀案件中谋杀发生的时间，放射性废物处理问题，降落伞降落速度与时间函数关系，工、矿、化工等企业都涉及的通风问题，减肥问题，交通管理问题等等。这里举一个在讲分离变量法时介绍的案例，当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度随时间的变化规律。又如果尸体发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？下面我们来分析这个问题，首先要给学生介绍相关的牛顿冷却定律（物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比），首先设尸体的温度为H（t），其冷却速度为■，根据已知条件结合牛顿冷却定律列出方程为■=-k（H-20），初始条件为H（0）=37，这个方程对于初学者来说并不难，就是典型的可分离变量的微分方程，可以通过分离变量法解出其通解为H-20=Ce-kt，再将初始条件代入得C=17，为求出k值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，有37=20+17e■，求得k≈0.063，于是温度函数为H=20+17e-0.063t，将H=30代入上式解出t≈8.4，于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时，即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的。通过分析这个案例让学生体会到学习的乐趣，原来这个问题可以通过数学方法来解决，从而调动学生的积极性。数学建模思想的培养是一个长期的任务，任重而道远，教育工作者需要踏实的钻研和工作才能在教学中熟练的将常微分方程和数学建模有机结合起来，从而在教学中渗入数学建模思想。让学生自觉应用数学知识去观察和解决生活生产和科技中的问题，体会到应用数学知识解决实际问题带来的乐趣。同时提高学生的思考力，创造力和洞察力，能够增强学生应用数学思想和方法解决实际问题的能力。使其由知识型向能力型转化，全面提高学生的数学素质，达到实现教学改革的目标。
参考文献：
[1]高素志，马遵路，曾昭著等.常微分方程[M].北京：北京师范大学出版社，1985.
[2]周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用[M].北京：科学出版社，2003.
[3]熊桂芳，王涛.高职常微分方程教学中数学建模思想的渗透.
