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线性代数在经济分析中的应用

时间:2022-10-30 08:35:28 公文范文 来源:网友投稿

[摘 要]线性代数在计算数学、运筹学、生物学、微积分、经济科学、管理科学等众多领域都有着广泛的应用。经济系统内各部门间是相互联系、相互依存的,每个部门都具有双重性:每个部门不仅向自身、其他部门及社会提供自己的产品或服务,同时在生产过程中都要消耗自身及其他部门提供的产品或服务。投入产出分析是一种行之有效的经济数量分析方法,投入产出模型是国民经济计划工作的重要工具。在市场经济条件下,投入产出分析被充分吸收到国民经济核算体系中,具有重要的实践意义

[关键词]投入产出方法 直接消耗系数 完全消耗系数 技术结构矩阵

[中图分类号] D151.2 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437(2013)11-0044-04

线性代数在计算数学、运筹学、生物学、微积分、经济科学、管理科学等众多领域都有着广泛的应用,如矩阵是经济研究和经济工作中处理线性经济模型的重要工具。著名的投入产出分析就是以线性代数理论为基础的,是线性代数卓有成效的应用。投入产出方法可以进行经济预测、研究某项经济政策的实施将对社会经济产生什么影响,还可以用于一些专门的社会问题研究(如环境污染问题、人口问题、世界经济结构问题等)。 线性代数知识也是线性规划问题研究的必备基础。 计算数学中一切方法无例外地都以线性代数为基础,从这个意义上,可以说线性代数是完全的应用学科。以下以投入产出方法为例,给出它在经济分析中的应用实例。

投入产出分析是20世纪30年代由俄罗斯籍美国经济学家列昂惕夫( 1906~1999)首先提出的,是经济分析的一种方法。粗略地说,就是产出某种产品,需要投入多少资源?

一、投入产出方法的基本原理

例1 铁路建设的钢材需求问题

建设一公里铁路约需要用钢材100吨,如果计划增建3 000公里铁路,需要钢铁部门增产多少钢材?

分析:需要增产的钢材是不是100×3000=300000(吨)呢?事实上并非如此。因为为了增建这三千公里铁路,还需要增加采矿、炼铁、炼钢、轧钢、电力、运输等部门的生产能力,这些部门都需要增加对钢材的需求,甚至扩大工人住宅也需要钢材。 因此增建三千公里铁路,远远不止需要30万吨钢材,必须统筹考虑各部门之间的关系,并进行综合平衡。

投入产出分析就是对例1中这样错综复杂的关系进行定量分析,使各部门能有计划按比例地协调发展。 它是研究某一经济系统中各部门之间的“投入”与“产出”关系的一种线性模型,一般称之为投入产出模型,被广泛的应用在微观及宏观经济系统的平衡分析上,已成为进行现代化管理的重要工具。

“投入”是指从事一项经济活动的各种消耗,其中包括原材料、设备、动力、人力、资金等的消耗;“产出”是指从事一项经济活动的结果(若从事的是生产活动,产出就是生产的产品)。投入产出方法应用广泛,以下介绍其基本原理及计算方法。

(一)价值型投入产出模型

经济系统内各部门间是相互联系、相互依存的,每个部门都具有双重性:每个部门不仅向自身、其他部门及社会提供自己的产品或服务(即产出),同时在生产过程中都要消耗自身及其他部门提供的产品或服务(即投入)。 而经济系统各部门之间的投入产出关系通常用投入产出表来描述。

(1)投入产出表

投入产出表分为实物型和价值型两种。实物型投入产出表采用实物计量单位编制,其特点是经济意义明确,适合于实际工作的需要;价值型投入产出表采用货币计量单位编制,其特点是单位统一,适合于对经济系统进行全面的分析研究。以下为价值型投入产出表:

表1

其中xi表示第i个生产部门的总产出,xij表示第i个部门在生产过程中消耗第j个部门的产品数量,yi表示第个i部门的最终产品,zj表示第j个部门的新创造价值(i,j=1,2…,n)。

(2)平衡方程

(Ⅰ)产品分配平衡方程

为了保持一个经济系统的正常运转,必须保持投入与产出之间的平衡,从数量关系上看,就是要使xi、xij及yi满足方程组:

x11+x12+…+x1n+y1=x1x21+x22+…+x2n+y2=x2……………………xn1+xn2+…+xnn+yn=xn

或简写成xi =■xij+yi(i=1,2…,n) (1)

它表明,每一个部门的总产出xi应等于该部门留着本部门使用的产品及在生产过程中流向其他各部门作为中间产品消耗的产品■xij和向社会提供的最终产品yi的总和。式(1)称为部门间产品分配平衡方程。

(Ⅱ)生产消耗平衡方程

从投入产出表的纵列看,要保持一个经济系统投入与产出之间的平衡,还要使xj、xij及zi满足方程组:

x11+x21+…+xn1+z1=x1x12+x22+…+xn2+z2=x2……………………x1n+x2n+…+xnn+zn=xn

或简写成 xj =■xij+zj(j=1,2…,n) (2)

它表明,每一个部门的总投入xj应等于该部门所消耗的全部物资■xij以及新创造的价值zj之和。式(2)称为部门间生产消耗平衡方程(或产值方程)。

(Ⅲ)投入产出均等方程

对产品分配平衡方程(1)两边求和,得

■xi=■(■xij+ yi)=■ ■xij+■yi (3)

对生产消耗平衡方程(2)两边求和,得

■xj=■(■xij+ zj)=■ ■xij+■zj (4)

由式(3)、(4),知■yi=■zj (5)

它表明,各部门向社会提供的全部最终产品应等于各部门新创造的价值。

式(1)、(2)和(5)反映了一个经济系统达到平衡的条件,即投入与产出之间必须满足的数量关系.

(二)直接消耗系数

为了充分反映各部门之间在生产技术上的数量依存关系,给出

定义1 第j部门每生产一个单位产品直接消耗第i部门的产品量,称为第j部门对第i部门的直接消耗系数(或投入产出系数),记作aij,即

aij=■(i,j=1,2…,n)

换句话说,aij是第j部门每生产一个单位产品需要第i部门直接分配给它的产品数量。

各部门之间的直接消耗系数构成的n阶方阵

称为直接消耗系数矩阵。

各部门之间的直接消耗系数是以生产技术性联系为基础的,是相对稳定的,一般把它叫做技术系数。它反映了各部门之间的直接联系的强度,aij的数值愈接近1,说明j部门与i部门的联系愈密切;若aij的数值愈接近0,则说明j部门与i部门之间的联系愈稀疏;当aij的值为零时,说明j部门与i部门之间没有直接的生产与分配联系。

由定义,直接消耗系数具有下列性质:

(1)所有元素均非负,且0≤aij<1(i,j=1,2…,n);

(2)各列元素的绝对值之和均小于1,即 ■|aij|<1(j=1,2…,n)。

平衡方程组可以由矩阵来表示。

由aij=■,有xij=aijxj(i,j=1,2…,n) (6)

由式(6)及产品分配平衡方程组,有

a11x1+a12x2+…+a1nxn+y1=x1a21x1+a22x2+…+a2nxn+y2=x2…………………………an1x1+an2x2+…+annxn+yn=xn

或简写成xi =■aijxj+yi(i=1,2…,n) (7)

类似地,由式(6)及生产消耗平衡方程组,有

a11x1+a21x1+…+an1x1+z1=x1a21x1+a22x2+…+a2nxn+z2=x2…………………………a1nxn+a2nxn+…+annxn+zn=xn

或简写成xj =■aijxj+zj(j=1,2…,n) (8)

设向量、矩阵分别为

则方程组式(7)、式(8)可以分别写成矩阵方程

X=AX+Y,X=CX+Z,

或(I-A)X=Y (9)

(I-C)X=Z (10)

其中X称为总产品列向量,Y称为最终产品列向量,Z称为新创造价值列向量,C称为中间投入系数矩阵,矩阵I-A称为技术结构矩阵(或列昂惕夫矩阵)。

对角形矩阵C的主对角线上的元素■aij(j=1,2…,n),表示在第j部门的产值中,消耗各部门(包括本部门)提供给本部门的产品所占的比重。

在一定的技术水平和生产组织的条件下,直接消耗系数是相对稳定的,因此利用关系式(9)、(10)可以对下期计划进行预测:

(1)如果已知总产品X,则由式(9)可求得最终产品Y;

(2)如果已知最终产品Y,则可证明矩阵I-A可逆,再由式(9)得总产品X,即X=(I-A)-1Y (11)

(3)如果已知总产品X,则由式(10)得新创造的价值Z;

(4)如果已知新创造的价值Z,则可证明矩阵I-C可逆,由式(10)(E-C)X=Z得总产品X,即X(I-C)-1Z (12)

在应用投入产出方法研究经济问题时,具体计算通常借助电子计算机完成.

(三)完全消耗系数

在实际生产过程中,经济系统各部门之间除了存在直接消耗关系以外,还存在着错综复杂的间接消耗关系.

例2 炼钢电力的消耗问题

分析 (1)炼钢需要消耗电力,这是炼钢对电的直接消耗;

(2)炼钢还需要消耗铁和焦炭,炼铁、炼焦也需要消耗电力,这可看作是炼钢对电的一次间接消耗;

(3)炼铁、炼焦需要消耗铁矿石和煤,采矿、采煤又需要消耗电力,这可看作是炼钢对电的二次间接消耗;

(4)制造以上各生产环节所需的设备都需要消耗电力……

如此分析下去,显然可以找出炼钢对电的更多次的间接消耗.将炼钢对电的直接消耗与所有的间接消耗加在一起,就称为炼钢对电的完全消耗.

定义2 第j部门生产产品时通过其他部门间接消耗第i部门的产品称为第j部门对第i部门的间接消耗,直接消耗与全部间接消耗之和称为完全消耗.

定义3 第j部门生产单位产品时对第i部门完全消耗的产品量称为第j部门的完全消耗系数,记作bij,即

bij =aij+■bikakj(i,j=1,2…,n) (13)

其中■bika表示间接消耗的总和.如果记B=(bij),则称B为完全消耗系数矩阵.

于是,式(13)的矩阵形式为B=A+BA(或B(I-A)=A),则有

B=(I-A)-1-I (14)

式(14)表明,完全消耗系数矩阵B可由直接消耗系数矩阵A求出.

直接消耗系数反映的是各部门之间产品的直接消耗关系,而完全消耗系数则更全面地反映各部门之间相互依存、相互制约的关系. 完全消耗系数从最终产品量和总产品量的关系上阐明了经济活动规律,准确、完整地反映了提供单位最终产品所引起的对各部门产品的需求量.这对于最终产品确定之后,预测各部门的总产量是非常有用的,对搞好综合平衡具有重要的意义.

二、投入产出方法在经济计划工作中的应用举例

(一)检验现有生产计划方案的平衡性

在现有生产计划方案中,当各部门的计划总产值和计划最终产品数额已经确定的情况下,如何检验这些计划数值是否能使各部门保持正常的经济活动,使各部门的部门比例保持平衡呢?一个比较有效的方法就是利用投入产出模型中的平衡方程,从数量上精确地检验生产计划方案.

记xi,yi(i=1,2…,n)分别表示第i部门计划期的计划总产值和计划最终产品数值.把xi(i=1,2…,n)代入投入产出模型中的产品分配平衡方程组,得到各部门的平衡最终产品数值,记作yi,即

xi-■aijxj=yi(i=1,2…,n),

然后再把各部门计划最终产品数值yi与平衡最终产品数值yi用公式

δi =yi-yi=xi-■aijxj-yi (15)

进行比较,就能检查到各部门计划产值与计划需求值的平衡状况,并根据检查结果对计划方案进行适当的调整和修改.

(1)当δi >0时,表示第i部门的计划产量超过计划需求量,即供大于求, 称之为余量;

(2)当δi <0时,表示第i部门的计划产量不能满足计划需求量,即供不应求,称之为有缺口;

(3)当δi ≈0时,表示第i部门的计划产量与计划需求量基本平衡.

各部门的绝对不平衡数额δi 是各部门计划产量与计划需求量平衡差额的确切数值,这些数值就是各部门的计划需要调整的数量.当某一部门的不平衡数额很小时,则可以认为该部门的计划量无需调整,该部门的计划产量基本上是合理的,可行的.

例3 某一经济系统有六个部门,已知该系统的直接消耗系数矩阵为

计划最终产品数值Y=(800,1060,350,450,50,270)T,计划总产品数值X=(150,1500,2000,500,200,300)T,试求不平衡数额,检验这项计划是否合理.

解 根据式(15),计算可得

δ1=x1-■a1jxj-y1=-10,δ2=x2-■a2jxj-y2=0,

δ2=x3-■a3jxj-y3=-20,δ4=x4-■a4jxj-y4=30,

δ5=x5-■a5jxj-y5=-10,δ6=x6-■a6jxj-y6=0,

所以各部门不平衡额度为

δ=(-10,0,-20,30,-10,0)T,

故由不平衡数额可知,该生产计划需要调整.

(二)调整现有生产计划

例4 已知某经济系统有三个生产部门,其完全消耗系数矩阵为

下一计划期最终产品的计划是Y=(90,70,160)T,试求:

(1)下一计划期的计划总产量;

(2)在计划的执行过程中,如果发现第1部门产品有5个单位的余量,第3部门产品有10个单位的缺口,那么原计划应如何调整?

解 (1)因为

■,

所以,由式(14)、式(11)得,下一计划期的计划总产量是

■;

(2)当最终产品的数量发生改变量ΔY=Y2-Y1时,则各部门间的总产品相应发生的改变量是ΔX=X2-X1(B+I)Y2-(B+I)Y1=(B+I)(Y2-Y1)=(B+I)ΔY

即 ΔX=(B+I)ΔY

将Y=(-5,0,10) T 代入上式,得

■,

所以,原计划总产量应作如下调整

即三个部门调整后的总产量分别为x1=196.18,x2=402.543,x3=513.14.

投入产出分析是一种行之有效的经济数量分析方法,投入产出模型是国民经济计划工作的重要工具.在市场经济条件下,投入产出分析被充分吸收到国民经济核算体系中,具有重要的实践意义.

[ 参 考 文 献 ]

[1] 彭文学等.经济应用数学—微积分[M].武汉:武汉工业大学出版社,1988.

[2] 冯翠莲.新编经济数学基础[M].北京:北京大学出版社2005.

[3] 韩飞等.应用经济数学[M].长沙:湖南师范大学出版社,2010.

[4] 李学银等.线性代数(第3版)[M].武汉:华中科技大学出版社,2010.

[5] 龚友运等.高等数学(第3版)[M].武汉:华中科技大学出版社,2006.

[责任编辑:林志恒]

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